Questao 4. Um recıpıente de paredes adıabátıcas é munido de um pıstao adıabátıco móvel, de massa desprezível e 200 \mathrm{~cm}^{2} de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg . A pressão externa é de 1 atm . O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual C_{V}=3 R / 2, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}.
Faz-se funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente, até 70^{\circ} C.
d) Qual é a variação de energia interna do gás?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a variação da energia interna do gás quando sua temperatura sobe de 20^\circ\mathrm{C} para 70^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando aplicável):
  • Área do pistão: A = 200\\ \mathrm{cm}^2 = 0,02\\ \mathrm{m}^2.
  • Peso sobre o pistão: m = 10\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração da gravidade (usar): g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2.
  • Pressão atmosférica: P_{\text{atm}} = 1\\ \text{atm} = 1{,}013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Volume do gás: V = 3\\ \mathrm{L} = 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • Calor específico molar a volume constante: C_V = \dfrac{3}{2}R (dado).
  • Temperatura inicial: T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura final: T_2 = 70^\circ\mathrm{C} = 343{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante universal dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Observação importante (informação que vamos usar mais adiante): o enunciado fornece área e massa do peso, portanto a pressão interna do gás, em equilíbrio mecânico, é igual à pressão externa total, que é a soma da pressão atmosférica e da pressão exercida pelo peso sobre a área do pistão. Não vamos assumir nada além do que foi dado.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas):
  1. Energia interna de um gás ideal. Para um gás ideal monoatômico (como o hélio), a energia interna depende somente da temperatura. A variação de energia interna quando a temperatura muda é dada por
\Delta U = n C_V \Delta T,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna (em joules),
  • n é o número de mols do gás,
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J/(mol\,K)}),
  • \Delta T = T_2 - T_1 é a variação de temperatura em kelvin.
  1. Determinar n. Como temos P, V e T (pressionando o pistão em equilíbrio), usamos a lei dos gases ideais:
P V = n R T.
Aqui P é a pressão interna do gás; em equilíbrio mecânico ela é igual à pressão externa total.
  1. Como calcular a pressão externa total: a pressão do peso sobre o pistão é a força mg dividida pela área A. Então a pressão externa total é
P = P_{\text{atm}} + \frac{mg}{A}.
Com isso definido, a estratégia é:
  • calcular P usando P_{\text{atm}}, m, g e A;
  • calcular n com P V = n R T_1 (usar a temperatura inicial para o estado inicial);
  • calcular \Delta U = n C_V (T_2-T_1) usando C_V=\tfrac{3}{2}R.

Passo 3

Calcular a pressão adicional causada pelo peso e a pressão total externa:
\frac{mg}{A}=\frac{(10\\ \mathrm{kg})(9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2)}{0,02\\ \mathrm{m}^2}=\frac{98}{0,02}=4900\\ \mathrm{Pa}.
A pressão total que o gás deve equilibrar é
P = P_{\text{atm}}+\frac{mg}{A}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}+4900\\ \mathrm{Pa}=1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular o número de mols n usando a lei dos gases ideais no estado inicial:
n=\frac{P V}{R T_1}.
Substituindo os valores:
n=\frac{\left(1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\right)}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}\times 293{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calculemos numericamente:
\text{numerador}=1{,}062\times10^{5}\times 3\times10^{-3}=318{,}6\\ \mathrm{J},
\text{denominador}=8{,}314\times 293{,}15\approx2437{,}25\\ \mathrm{J/mol}.
Logo
n\approx\frac{318{,}6}{2437{,}25}\approx0,1308\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Calcular \Delta U. Primeiro a variação de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 343{,}15\\ \mathrm{K}-293{,}15\\ \mathrm{K}=50\\ \mathrm{K}.
Capacidade molar dada: C_V=\dfrac{3}{2}R. Numericamente:
C_V=\tfrac{3}{2}\times 8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
Agora
\Delta U = n C_V \Delta T.
Substituindo os valores:
\Delta U \approx 0,1308\times 12{,}471\times 50 \approx 81{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: a variação de energia interna é relativamente pequena porque há pouca matéria (apenas cerca de 0{,}13 mol de hélio em 3\\ \mathrm{L}). Repare que não precisamos usar explicitamente o trabalho ou o calor fornecido para obter \Delta U — para gás ideal monoatômico \Delta U depende apenas da variação de temperatura e do número de mols.

Resposta

81{,}5\\ \mathrm{J}

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