Questao 4. Um recıpıente de paredes adıabátıcas é munido de um pıstao adıabátıco móvel, de massa desprezível e
de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg . A pressão externa é de 1 atm . O recipiente contém
de gás hélio, para o qual
, à temperatura de
.
Faz-se funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente, até
.
d) Qual é a variação de energia interna do gás?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a variação da energia interna do gás quando sua temperatura sobe de
para
.
Dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando aplicável):
- Área do pistão:
. - Peso sobre o pistão:
. - Aceleração da gravidade (usar):
. - Pressão atmosférica:
. - Volume do gás:
. - Calor específico molar a volume constante:
(dado). - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Constante universal dos gases:
.
Observação importante (informação que vamos usar mais adiante): o enunciado fornece área e massa do peso, portanto a pressão interna do gás, em equilíbrio mecânico, é igual à pressão externa total, que é a soma da pressão atmosférica e da pressão exercida pelo peso sobre a área do pistão. Não vamos assumir nada além do que foi dado.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas):
- Energia interna de um gás ideal. Para um gás ideal monoatômico (como o hélio), a energia interna depende somente da temperatura. A variação de energia interna quando a temperatura muda é dada por
onde:
-
é a variação da energia interna (em joules), -
é o número de mols do gás, -
é a capacidade calorífica molar a volume constante (em ), -
é a variação de temperatura em kelvin.
- Determinar
. Como temos , e (pressionando o pistão em equilíbrio), usamos a lei dos gases ideais:
Aqui
é a pressão interna do gás; em equilíbrio mecânico ela é igual à pressão externa total.
- Como calcular a pressão externa total: a pressão do peso sobre o pistão é a força
dividida pela área . Então a pressão externa total é
Com isso definido, a estratégia é:
- calcular
usando , , e ; - calcular
com (usar a temperatura inicial para o estado inicial); - calcular
usando .
Passo 3
Calcular a pressão adicional causada pelo peso e a pressão total externa:
A pressão total que o gás deve equilibrar é
Passo 4
Calcular o número de mols
usando a lei dos gases ideais no estado inicial:
Substituindo os valores:
Calculemos numericamente:
Logo
Passo 5
Calcular
. Primeiro a variação de temperatura:
Capacidade molar dada:
. Numericamente:
Agora
Substituindo os valores:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: a variação de energia interna é relativamente pequena porque há pouca matéria (apenas cerca de
mol de hélio em
). Repare que não precisamos usar explicitamente o trabalho ou o calor fornecido para obter
— para gás ideal monoatômico
depende apenas da variação de temperatura e do número de mols.