Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com \gamma=7 / 5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3 / 4 do volume inicial V_{0}; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Constante adiabática: \gamma=7/5 (fornecida, mas pode não ser necessária).
  • Estado inicial: pressão P_0=1\\ \text{atm} e temperatura 27^\circ\mathrm{C}. Convertendo a temperatura:
T_0=27^\circ\mathrm{C}+273=300\\ \mathrm{K}.
  • Volume inicial: V_0 (desconhecido, será mantido simbólico quando útil).
  • Sequência de transformações (em ordem):
    1. (i) Compressão isobárica até V_1=\tfrac{3}{4}V_0 (pressão permanece P_0).
    2. (ii) Aquecimento a volume constante V_1 até a temperatura voltar a T_0.
    3. (iii) Expansão a pressão constante (essa pressão será a que ficou após o aquecimento) até o volume voltar a V_0.
    4. (iv) Resfriamento a volume constante V_0 até a pressão voltar a P_0.
  • O enunciado pede a parte (b): calcular o trabalho total realizado pelo gás ao longo do ciclo.

Passo 2

Primeiro, relacionar estados usando a lei dos gases ideais. A fórmula da lei dos gases ideais é
P V = n R T,
onde P é pressão, V é volume, n é número de mols, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta. Aqui R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Após a compressão isobárica (i) o novo volume é V_1=\tfrac{3}{4}V_0 e a pressão continua P_0. A temperatura após (i), chamemos de T_1, vem de
P_0 V_1 = n R T_1.
Comparando com o estado inicial P_0 V_0 = n R T_0, dividindo as duas igualdades obtemos
\frac{T_1}{T_0}=\frac{V_1}{V_0}=\frac{3}{4}.
Portanto
T_1=\frac{3}{4}T_0=\frac{3}{4}\cdot300\\ \mathrm{K}=225\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora a etapa (ii) é aquecer a volume constante V_1 até a temperatura voltar para T_0. Como o volume é constante, a nova pressão após (ii) (chame-a de P_2) é dada por
P_2=\frac{n R T_0}{V_1}.
Usando a relação P_0 V_0 = n R T_0 podemos escrever
P_2 = \frac{n R T_0}{V_1} = \frac{P_0 V_0}{V_1} = P_0\frac{V_0}{V_1}.
Como V_1=\tfrac{3}{4}V_0, temos
\frac{V_0}{V_1}=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3},
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P_2=\frac{4}{3}P_0.

Passo 4

Explicar como calcular trabalho e aplicar às etapas relevantes.
  • A definição de trabalho realizado pelo gás, em processos quasistáticos, é
W=\int P\,dV,
onde W positivo significa trabalho realizado pelo gás (expansão) e W negativo trabalho feito sobre o gás (compressão).
  • Em processos a volume constante ( dV=0) o trabalho é nulo: W=0.
No nosso ciclo, apenas as etapas isobáricas (i) e (iii) realizam trabalho diferente de zero; as etapas a volume constante (ii) e (iv) têm W=0.
Calcular o trabalho em cada etapa não nula:
(i) Compressão isobárica em pressão P_0 de V_0 para V_1=\tfrac{3}{4}V_0:
W_1=\int_{V_0}^{V_1} P_0\,dV = P_0\,(V_1-V_0) = P_0\!\left(\frac{3}{4}V_0-V_0\right) = -\frac{1}{4}P_0V_0.
(Sinal negativo: é trabalho feito sobre o gás.)
(iii) Expansão isobárica em pressão P_2=\tfrac{4}{3}P_0 de V_1=\tfrac{3}{4}V_0 para V_0:
W_3=\int_{V_1}^{V_0} P_2\,dV = P_2\,(V_0-V_1) = \frac{4}{3}P_0\left(V_0-\frac{3}{4}V_0\right) = \frac{4}{3}P_0\cdot\frac{1}{4}V_0 = \frac{1}{3}P_0V_0.
Trabalhos nas etapas (ii) e (iv) são W_2=0 e W_4=0.
Somando tudo:
W_{\text{total}}=W_1+W_2+W_3+W_4 = -\frac{1}{4}P_0V_0 + 0 + \frac{1}{3}P_0V_0 + 0 = \left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)P_0V_0.
Fazendo a soma:
-\frac{1}{4}+\frac{1}{3} = -\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{1}{12},
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W_{\text{total}}=\frac{1}{12}P_0V_0.

Passo 5

Expressar o resultado em termos de n,R,T_0 e obter valor numérico.
Pela lei dos gases ideais no estado inicial:
P_0V_0 = n R T_0.
Portanto
W_{\text{total}}=\frac{1}{12}P_0V_0=\frac{1}{12}n R T_0.
Como n=1, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T_0=300\\ \mathrm{K},
W_{\text{total}}=\frac{1}{12}\cdot 1\cdot 8{,}314\cdot 300\\ \mathrm{J} = \frac{8{,}314\cdot 300}{12}\\ \mathrm{J}.
Calculemos:
8{,}314\cdot 300 = 2\,494{,}2\\ \mathrm{J}, \qquad \frac{2\,494{,}2}{12}=207{,}85\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente,
W_{\text{total}}\approx 2{,}08\times 10^{2}\\ \mathrm{J}\approx 208\\ \mathrm{J}.
Observação pedagógica: a constante adiabática \gamma dada não foi necessária para calcular o trabalho porque o trabalho depende apenas do caminho (aqui, somente das etapas isobáricas) e da relação P V = n R T. O ciclo é fechado e o resultado positivo indica que, ao final, o gás realizou trabalho líquido sobre o ambiente.

Resposta

\displaystyle W_{\text{total}}=\frac{1}{12}P_0V_0=\frac{1}{12}nRT_0\approx207{,}85\\ \mathrm{J}\\ (\approx208\\ \mathrm{J})

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