Questāo 5. Um mol de um gás ideal, com
, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e
. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até
do volume inicial
; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial.
b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Quantidade de gás:
mol. - Constante adiabática:
(fornecida, mas pode não ser necessária). - Estado inicial: pressão
e temperatura . Convertendo a temperatura:
- Volume inicial:
(desconhecido, será mantido simbólico quando útil). - Sequência de transformações (em ordem):
- (i) Compressão isobárica até
(pressão permanece ). - (ii) Aquecimento a volume constante
até a temperatura voltar a . - (iii) Expansão a pressão constante (essa pressão será a que ficou após o aquecimento) até o volume voltar a
. - (iv) Resfriamento a volume constante
até a pressão voltar a .
- (i) Compressão isobárica até
- O enunciado pede a parte (b): calcular o trabalho total realizado pelo gás ao longo do ciclo.
Passo 2
Primeiro, relacionar estados usando a lei dos gases ideais. A fórmula da lei dos gases ideais é
onde
é pressão,
é volume,
é número de mols,
é a constante dos gases ideais e
é a temperatura absoluta. Aqui
.
Após a compressão isobárica (i) o novo volume é
e a pressão continua
. A temperatura após (i), chamemos de
, vem de
Comparando com o estado inicial
, dividindo as duas igualdades obtemos
Portanto
Passo 3
Agora a etapa (ii) é aquecer a volume constante
até a temperatura voltar para
. Como o volume é constante, a nova pressão após (ii) (chame-a de
) é dada por
Usando a relação
podemos escrever
Como
, temos
logo
Passo 4
Explicar como calcular trabalho e aplicar às etapas relevantes.
- A definição de trabalho realizado pelo gás, em processos quasistáticos, é
onde
positivo significa trabalho realizado pelo gás (expansão) e
negativo trabalho feito sobre o gás (compressão).
- Em processos a volume constante (
) o trabalho é nulo: .
No nosso ciclo, apenas as etapas isobáricas (i) e (iii) realizam trabalho diferente de zero; as etapas a volume constante (ii) e (iv) têm
.
Calcular o trabalho em cada etapa não nula:
(i) Compressão isobárica em pressão
de
para
:
(Sinal negativo: é trabalho feito sobre o gás.)
(iii) Expansão isobárica em pressão
de
para
:
Trabalhos nas etapas (ii) e (iv) são
e
.
Somando tudo:
Fazendo a soma:
logo
Passo 5
Expressar o resultado em termos de
e obter valor numérico.
Pela lei dos gases ideais no estado inicial:
Portanto
Como
,
e
,
Calculemos:
Arredondando razoavelmente,
Observação pedagógica: a constante adiabática
dada não foi necessária para calcular o trabalho porque o trabalho depende apenas do caminho (aqui, somente das etapas isobáricas) e da relação
. O ciclo é fechado e o resultado positivo indica que, ao final, o gás realizou trabalho líquido sobre o ambiente.