Questao 4. Um recıpıente de paredes adıabátıcas é munido de um pıstao adıabátıco móvel, de massa desprezível e 200 \mathrm{~cm}^{2} de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg . A pressão externa é de 1 atm . O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual C_{V}=3 R / 2, à temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}.
Faz-se funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente, até 70^{\circ} C.
e) Quanto calor é fornecido ao gás?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (não vou resolver ainda, só organizar os dados):
  • Área do pistão: 200\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Peso sobre o pistão: 10\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão externa (atmosfera): 1\\ \mathrm{atm}.
  • Volume inicial do gás: 3\\ \mathrm{L}.
  • Gás: hélio com C_{V}=\dfrac{3R}{2}.
  • Temperatura inicial: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: 70^\circ\mathrm{C}.
  • O recipiente tem paredes adiabáticas, mas há um aquecedor interno que fornece calor ao gás.
    O que se pede:
  • (e) Quanto calor é fornecido ao gás durante o aquecimento de 20^\circ\mathrm{C} para 70^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Converter unidades e identificar a pressão que o gás sofre internamente.
  • Converter a área para o SI:
A = 200\\ \mathrm{cm^{2}} = 200\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} = 0{,}02\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A força do peso é F = mg com m=10\\ \mathrm{kg} e g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Então
F = 10\cdot9{,}8 = 98\\ \mathrm{N}.
  • A pressão adicional devido ao peso é \dfrac{F}{A}=\dfrac{98}{0{,}02}=4900\\ \mathrm{Pa}.
  • A pressão atmosférica dada é 1\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim a pressão interna (para equilíbrio mecânico) vale
P = P_{\text{atm}}+\frac{F}{A}=1{,}013\times10^{5}+4900=1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Observação rápida: como o aquecimento é gradual e o pistão é livre para mover-se mantendo equilíbrio, a pressão do gás permanece (aproximadamente) constante e igual a P calculada acima — portanto o processo é isobárico.

Passo 3

Preparar as temperaturas e volume no SI e lembrar a lei dos gases ideais para obter n (número de mols).
  • Converter volume:
V=3\\ \mathrm{L}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Converter temperaturas para kelvin:
T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{2}=70^\circ\mathrm{C}=343{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usaremos a lei dos gases ideais por mol:
PV=nRT,
onde P é a pressão (em Pa), V o volume (m^3), R a constante universal dos gases ( R\approx8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}) e T a temperatura (K). Vamos calcular n usando o estado inicial.

Passo 4

Calcular o número de mols n do gás a partir de PV=nRT.
n=\dfrac{PV}{RT_{1}}=\dfrac{(1{,}062\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(3\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}})}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\cdot293{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calculemos numericamente passo a passo:
PV=(1{,}062\times10^{5})\cdot(3\times10^{-3})=318{,}6\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
RT_{1}=8{,}314\cdot293{,}15\approx2437{,}4\\ \mathrm{J/mol}.
n=\dfrac{318{,}6}{2437{,}4}\approx0{,}1308\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Determinar C_{P} molar do hélio a partir de C_{V}.
  • O enunciado dá C_{V}=\dfrac{3R}{2}. Para gases ideais vale a relação
C_{P}=C_{V}+R.
Logo
C_{P}=\frac{3R}{2}+R=\frac{5R}{2}.
Explicação curta: C_{V} é o calor molar a volume constante (quanto a energia interna varia por mol e por grau quando o volume não muda) e C_{P} é o calor molar a pressão constante; a diferença é exatamente R para gás ideal.

Passo 6

Calcular o calor fornecido Q num processo isobárico usando Q=nC_{P}\Delta T.
  • A variação de temperatura é
\Delta T=T_{2}-T_{1}=343{,}15-293{,}15=50{,}0\\ \mathrm{K}.
  • Usando C_{P}=\dfrac{5R}{2},
Q=nC_{P}\Delta T=n\left(\frac{5R}{2}\right)\Delta T.
Substituindo números:
R\Delta T=8{,}314\cdot50{,}0=415{,}7\\ \mathrm{J/mol}.
\frac{5}{2}R\Delta T=2{,}5\cdot415{,}7=1039{,}3\\ \mathrm{J/mol}.
Q=n\cdot1039{,}3\approx0{,}1308\cdot1039{,}3\approx135{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação rápida pela primeira lei da termodinâmica (opcional mas útil pedagogicamente).
  • A primeira lei: \Delta U = Q - W, com \Delta U = nC_{V}\Delta T e trabalho em processo isobárico W = P\Delta V. Pode-se mostrar que Q=nC_{P}\Delta T é equivalente a Q=\Delta U+W porque W=nR\Delta T. Fazer as contas confirmaria o mesmo valor numérico (não necessário recalcular aqui, é uma checagem lógica).

Resposta

Q\approx135{,}8\\ \mathrm{J}

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