Questão 0.6. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais dos espaços vetoriais dados:
V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3: x=4 y e z=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x,y,z)in R^3 : x = 4y e z=0
é subespaço de V = R^3. Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço vetorial, que exige:
  1. 0in W.
  2. Se u,vin W, então u+vin W.
  3. Se uin W e alphainR, então alphauin W.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero 0=(0,0,0) satisfaz as condições de W: ,0=4cdot0 e 0=0. Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
x1 = 4y1, z1=0, x2 = 4y2, z2=0
O somatório é
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = (x1+x2,;y1+y2,;0)
Como
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4(y1+y2),
vemos que u+v também satisfaz x=4y e z=0. Portanto u+vin W.

Passo 4

Seja u=(x,y,z)in W e alphainR. Então x=4y e z=0. O produto escalar é
alphau = (alpha x,;alpha y,;alpha z) = (alpha x,;alpha y,;0)
Como alpha x = alpha,(4y) = 4(alpha y), obtemos que alphau também satisfaz x=4y e z=0. Logo alphauin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz todas as condições de subespaço de R^3. Portanto, W é um subespaço vetorial de V=R^3.

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