35^circ ) Questão.

Mostre que, se 0<a1 <= a2 <= a3 <= cdots então a série alternada sum(-1)^n an diverge.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n an
não converge quando a sequência (an) satisfaz
0 < a1 <= a2 <= a3 <= cdots
O conteúdo que vamos usar é o teste de divergência: se os termos gerais de uma série não tendem a zero, então a série diverge.

Passo 2

Como (an) é não-decrescente e todos os an são positivos, temos para todo n
an >= a1 > 0
Logo
limntoinfty an ;>=; a1 ;>; 0
Em particular limntoinftyan não é zero, e portanto o termo geral
(-1)^n an
também não tende a zero (na verdade não tem limite).

Passo 3

Pelo teste de divergência, como o termo geral ;(-1)^n an não tende a zero, a série
sumn=1^infty(-1)^n an
não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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