(0,8) Questāo 4 Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma solução real. O conteúdo é a aplicação do Teorema do Valor Intermediário (TVI) em funções contínuas, usando propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Definimos a função
Reescrever a equação original como
nos permite estudar a existência de raízes de
.
Passo 3
Sabemos que as funções
,
e
são contínuas em todo
. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 4
Calculamos dois valores de
em pontos distintos para verificar mudança de sinal:
Como
e
, há mudança de sinal no intervalo
.
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume sinais opostos em extremos de um intervalo tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Assim existe
tal que
isto é,
.
Resposta
Existe pelo menos uma solução real
da equação
, com
.