(0,8) Questāo 4 Mostre que a equação 2^x+3^x=4^x tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
2^x + 3^x = 4^x
possui pelo menos uma solução real. O conteúdo é a aplicação do Teorema do Valor Intermediário (TVI) em funções contínuas, usando propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 2^x + 3^x - 4^x
Reescrever a equação original como f(x)=0 nos permite estudar a existência de raízes de f.

Passo 3

Sabemos que as funções xmapsto 2^x, xmapsto 3^x e xmapsto 4^x são contínuas em todo R. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, logo
f(x)=2^x+3^x-4^x
é contínua em R.

Passo 4

Calculamos dois valores de f em pontos distintos para verificar mudança de sinal:
f(0)=2^0+3^0-4^0=1+1-1=1>0,
f(2)=2^2+3^2-4^2=4+9-16=-3<0
Como f(0)>0 e f(2)<0, há mudança de sinal no intervalo [0,2].

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume sinais opostos em extremos de um intervalo tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Assim existe cin(0,2) tal que
f(c)=0,
isto é, 2^c+3^c=4^c.

Resposta

Existe pelo menos uma solução real c da equação 2^x+3^x=4^x, com cin(0,2).

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