Resolva as seguintes equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
y^prime prime-7 y^prime+12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 7y' + 12y = 0
Vamos usar o método da equação característica, que consiste em assumir uma solução do tipo y=e^rx.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, temos
y' = r e^rx, y''=r^2e^rx,
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r^2e^rx - 7,r e^rx + 12,e^rx = 0
Como e^rxneq0, podemos cancelar esse fator.

Passo 3

Obtemos a equação característica
r^2 - 7r + 12 = 0

Passo 4

Resolvendo a quadrática
r^2 - 7r + 12 = (r-3)(r-4)=0
as raízes são
r1 = 3, r2 = 4

Passo 5

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Portanto,

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x

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