e pede para mostrar que f é contínua em \mathbb{R}^3. O único ponto crítico é (0,0,0), pois onde xyz\neq0 a função é composição de polinômios e de \operatorname{sen}, logo já contínua ali. Portanto vamos verificar a continuidade em (0,0,0) usando a definição de limite e o fato de que \operatorname{sen} é limitada.
para garantir que sempre que \sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta teremos \lvert f(x,y,z)\rvert\le\delta^5=\varepsilon. Isso mostra \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=0=f(0,0,0).
Passo 4
Concluímos que o limite de f(x,y,z) em (0,0,0) coincide com o valor da função naquele ponto, logo f é contínua em (0,0,0). Como já era contínua nos demais pontos, f é contínua em todo \mathbb{R}^3.