Questão 4 - Mostre que a função definida abaixo é contínua.
f:\left\{\begin{array}{cl} x^{3} z^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x y z}\right), & \text { se, } \quad(x, y, z) \neq(0,0,0) \\\\ 0 & \text { se, } \quad(x, y, z)=(0,0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y,z)= \begin{cases} x^{3}z^{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{xyz}\bigr),&\text{se }(x,y,z)\neq(0,0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y,z)=(0,0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que f é contínua em \mathbb{R}^3. O único ponto crítico é (0,0,0), pois onde xyz\neq0 a função é composição de polinômios e de \operatorname{sen}, logo já contínua ali. Portanto vamos verificar a continuidade em (0,0,0) usando a definição de limite e o fato de que \operatorname{sen} é limitada.

Passo 2

Seja (x,y,z)\to(0,0,0). Então
\bigl|f(x,y,z)-f(0,0,0)\bigr| =\bigl|x^3z^2\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{xyz}\bigr)-0\bigr| =\bigl|x^3z^2\bigr|\;\bigl|\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac1{xyz}\bigr)\bigr|.
Como para todo argumento vale \bigl|\operatorname{sen}(\cdot)\bigr|\le1, segue
\bigl|f(x,y,z)-0\bigr|\le\bigl|x^3z^2\bigr| =\bigl|x\bigr|^3\;\bigl|z\bigr|^2.

Passo 3

Seja \delta>0 tal que \sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta. Então \lvert x\rvert<\delta e \lvert z\rvert<\delta, logo
\bigl|f(x,y,z)\bigr|\le\delta^3\;\delta^2=\delta^5.
Agora, dado \varepsilon>0, basta escolher
\delta=\varepsilon^{1/5},
para garantir que sempre que \sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta teremos \lvert f(x,y,z)\rvert\le\delta^5=\varepsilon. Isso mostra \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=0=f(0,0,0).

Passo 4

Concluímos que o limite de f(x,y,z) em (0,0,0) coincide com o valor da função naquele ponto, logo f é contínua em (0,0,0). Como já era contínua nos demais pontos, f é contínua em todo \mathbb{R}^3.

Resposta

A função f é contínua em \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados