Questão 5 - Mostre (a) que vale a relação de comutação entre posição e momento linear: \left[x, p_{x}\right]=i \hbar. (b) Obtenha a relação de incerteza entre posição e momento. Sugestão: leia o capítulo 6 das notas de aula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a relação de comutação entre os operadores posição \hat x e momento \hat p_x, que é do conteúdo de mecânica quântica de operadores lineares. Segundo, usar essa comutação para obter a desigualdade de incerteza de Heisenberg entre posição e momento. Para isso, vamos precisar da representação usual em espaço de coordenadas, onde
\hat x atua por multiplicação e
\hat p_x = -\,i\hbar\,\frac{d}{dx}.

Passo 2

Definimos a ação dos operadores sobre uma função de teste \psi(x). Temos
\hat x\,\psi(x)=x\,\psi(x)
e
\hat p_x\,\psi(x)=-\,i\hbar\,\frac{d}{dx}\psi(x).
O comutador é
[\hat x,\hat p_x]=\hat x\,\hat p_x-\hat p_x\,\hat x,
que vamos aplicar em \psi(x).

Passo 3

Calculemos
\hat x\,\hat p_x\,\psi = x\Bigl(-\,i\hbar\,\frac{d\psi}{dx}\Bigr) =-\,i\hbar\,x\,\frac{d\psi}{dx}
e
\hat p_x\,\hat x\,\psi =-\,i\hbar\,\frac{d}{dx}\bigl(x\,\psi\bigr) =-\,i\hbar\Bigl(\psi + x\,\frac{d\psi}{dx}\Bigr).
Subtraindo,
[\hat x,\hat p_x]\,\psi =-\,i\hbar\,x\,\frac{d\psi}{dx} - \bigl[-\,i\hbar(\psi + x\,\tfrac{d\psi}{dx})\bigr] = i\hbar\,\psi.
Como isso vale para toda \psi, concluímos
[\hat x,\hat p_x]=i\hbar.

Passo 4

Para a incerteza, lembramos que, em geral para dois operadores hermitianos \hat A e \hat B, vale o teorema de Robertson:
\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\bigl|\langle[\hat A,\hat B]\rangle\bigr|.
Aqui, \Delta A e \Delta B são os desvios-padrão de \hat A e \hat B no estado considerado.

Passo 5

Aplicando com \hat A=\hat x e \hat B=\hat p_x, e usando
\langle[\hat x,\hat p_x]\rangle=i\hbar, obtemos
\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{1}{2}\bigl|i\hbar\bigr| = \frac{\hbar}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle [\hat x,\hat p_x]=i\hbar.
(b) \displaystyle \Delta x\,\Delta p_x\ge \frac{\hbar}{2}.

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