Questão 5 - Mostre (a) que vale a relação de comutação entre posição e momento linear: \left[x, p_{x}\right]=i \hbar. (b) Obtenha a relação de incerteza entre posição e momento. Sugestão: leia o capítulo 6 das notas de aula.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, provar a relação de comutação entre os operadores posição \hat x e momento \hat p_x, que é do conteúdo de mecânica quântica de operadores lineares. Segundo, usar essa comutação para obter a desigualdade de incerteza de Heisenberg entre posição e momento. Para isso, vamos precisar da representação usual em espaço de coordenadas, onde \hat x atua por multiplicação e \hat p_x = -\,i\hbar\,\frac{d}{dx}.
Passo 2
Definimos a ação dos operadores sobre uma função de teste \psi(x). Temos \hat x\,\psi(x)=x\,\psi(x)
e \hat p_x\,\psi(x)=-\,i\hbar\,\frac{d}{dx}\psi(x).
O comutador é