QUESTÃO 1 - Mostre que
utilizando a definição de integral (por somas de Riemann).
Passo 1
Neste exercício queremos mostrar que
usando a definição de integral de Riemann. Isto exige escolher uma partição de
, formar a soma de Riemann com pontos de amostragem e depois tomar o limite quando o número de subintervalos tende a infinito.
Passo 2
Escolhemos uma partição regular de
em
subintervalos de mesmo comprimento. Cada subintervalo tem
e usamos o extremo direito de cada subintervalo como ponto de amostragem,
Passo 3
A soma de Riemann associada a essa partição e a
é
Passo 4
Usamos a fórmula fechada para o somatório de quadrados:
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Para concluir, tomamos o limite de
quando
:
Como
é contínua, esse limite é exatamente o valor da integral de Riemann.