QUESTÃO 1 - Mostre que
\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}
utilizando a definição de integral (por somas de Riemann).

Passo 1

Neste exercício queremos mostrar que
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\tfrac{1}{3}
usando a definição de integral de Riemann. Isto exige escolher uma partição de [0,1], formar a soma de Riemann com pontos de amostragem e depois tomar o limite quando o número de subintervalos tende a infinito.

Passo 2

Escolhemos uma partição regular de [0,1] em n subintervalos de mesmo comprimento. Cada subintervalo tem
\Delta x=\frac{1}{n},
e usamos o extremo direito de cada subintervalo como ponto de amostragem,
x_{i}=\frac{i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada a essa partição e a f(x)=x^{2} é
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\Bigl(\frac{i}{n}\Bigr)^{2}\cdot\frac{1}{n} =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}.

Passo 4

Usamos a fórmula fechada para o somatório de quadrados:
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Substituindo em S_{n}, obtemos
S_{n} =\frac{1}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6\,n^{3}}.

Passo 5

Para concluir, tomamos o limite de S_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6\,n^{3}} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3}.
Como f(x)=x^{2} é contínua, esse limite é exatamente o valor da integral de Riemann.

Resposta

\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3}.

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