Sempre justifique a sua resposta nos itens abaixo. Resposta sem justificativa será anulada.
Encontre o intervalo de convergência da seguinte série de potências \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}(x-3 \pi)^{k}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{5^{k}}(x-3\pi)^{k}.
O conteúdo principal é determinar o raio de convergência usando o teste da razão e depois verificar a convergência nos pontos finais.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a termo geral
a_{k}=\frac{k}{5^{k}}(x-3\pi)^{k}.
Calculamos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\frac{\frac{k+1}{5^{\,k+1}}|x-3\pi|^{\,k+1}}{\frac{k}{5^{\,k}}|x-3\pi|^{\,k}} =\frac{k+1}{k}\,\frac{|x-3\pi|}{5}.
Fazendo k\to\infty, tem-se
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\frac{|x-3\pi|}{5}.
O critério diz que a série converge se L<1, ou seja
\frac{|x-3\pi|}{5}<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-3\pi|<5.

Passo 3

Da desigualdade |x-3\pi|<5 obtemos o intervalo central de convergência
3\pi -5 < x < 3\pi +5.

Passo 4

Testamos os extremos:
  1. Em x=3\pi+5, o termo geral vira
\frac{k}{5^{k}}(5)^{k}=k,
cuja soma \sum k diverge porque k\not\to0.
  1. Em x=3\pi-5, o termo geral é
\frac{k}{5^{k}}(-5)^{k}=k(-1)^{k},
e novamente \sum k(-1)^{k} diverge pois k(-1)^{k}\not\to0.
Portanto, nenhum dos extremos entra no intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência é
(3\pi - 5,\,3\pi + 5).

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