Resolva a seguinte equação diferencial através de uma série de potências em torno de
. Encontre a relação de recorrência; encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes; encontre o termo geral em cada solução; apresente a solução final.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências em torno de
da equação diferencial
O conteúdo é o método de série de potências: vamos supor
calcular
e
, substituir na EDO e obter a relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculemos
Substituindo em
damos o índice
em
para reindexar tudo em potências de
. Obtemos
Agrupando os termos de mesmo
resulta
logo a relação de recorrência é
Passo 3
Há duas soluções independentes: a par (com
,
livre) e a ímpar (com
,
livre).
Solução par (
,
):
Os quatro primeiros termos são
Solução ímpar (
,
):
Os quatro primeiros termos são
Passo 4
Para a solução par temos, por indução,
logo
Para a ímpar,
logo
Passo 5
A solução geral da equação é a combinação linear das duas séries: