Resolva a seguinte equação diferencial através de uma série de potências em torno de x_{0}=0. Encontre a relação de recorrência; encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes; encontre o termo geral em cada solução; apresente a solução final.
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências em torno de x_{0}=0 da equação diferencial
y'' - x\,y' - y = 0.
O conteúdo é o método de série de potências: vamos supor
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calcular y' e y'', substituir na EDO e obter a relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Calculemos
y'=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,x^{n-2}.
Substituindo em
y''-x\,y'-y=0
damos o índice m=n-2 em y'' para reindexar tudo em potências de x^{m}. Obtemos
\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(m+2)(m+1)a_{m+2}\bigr]x^{m} \;-\;\sum_{m=0}^{\infty}m\,a_{m}\,x^{m} \;-\;\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}\,x^{m}=0.
Agrupando os termos de mesmo x^{m} resulta
\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl[(m+2)(m+1)a_{m+2} - (m+1)a_{m}\Bigr]x^{m}=0,
logo a relação de recorrência é
(m+2)(m+1)a_{m+2} - (m+1)a_{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{m+2}=\frac{a_{m}}{m+2}, \quad m\ge0.

Passo 3

Há duas soluções independentes: a par (com a_{1}=0, a_{0} livre) e a ímpar (com a_{0}=0, a_{1} livre).
Solução par ( a_{0}=1, a_{1}=0):
a_{2}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2},\quad a_{4}=\frac{a_{2}}{4}=\frac{1}{8},\quad a_{6}=\frac{a_{4}}{6}=\frac{1}{48},\quad a_{8}=\frac{a_{6}}{8}=\frac{1}{384},\ldots
Os quatro primeiros termos são
y_{1}(x)=1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{6}}{48} + \cdots.
Solução ímpar ( a_{0}=0, a_{1}=1):
a_{3}=\frac{a_{1}}{3}=\frac{1}{3},\quad a_{5}=\frac{a_{3}}{5}=\frac{1}{15},\quad a_{7}=\frac{a_{5}}{7}=\frac{1}{105},\quad a_{9}=\frac{a_{7}}{9}=\frac{1}{945},\ldots
Os quatro primeiros termos são
y_{2}(x)=x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{7}}{105} + \cdots.

Passo 4

Para a solução par temos, por indução,
a_{2k}=\frac{a_{0}}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)} =\frac{a_{0}}{2^{k}\,k!},
logo
y_{1}(x)=a_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2^{k}\,k!}.
Para a ímpar,
a_{2k+1}=\frac{a_{1}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} =\frac{a_{1}}{(2k+1)!!},
logo
y_{2}(x)=a_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!}.

Passo 5

A solução geral da equação é a combinação linear das duas séries:
y(x)=C_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2^{k}\,k!} \;+\; C_{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!}.

Resposta

y(x)=C_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{2^{k}\,k!} \;+\; C_{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!!}.

Exercícios relacionados