QUESTÃO 7 - Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo, onde os contornos são todos percorridos no sentido anti-horário.
oint|z-2 i|=2 sin zz-i d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
oint|z-2i|=2sin zz-i,dz
num contorno circular centrado em 2i de raio 2, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o conteúdo de Análise Complexa: a Fórmula Integral de Cauchy para integrais do tipo
ointCf(z)z-a,dz = 2pi i,f(a),
desde que f seja holomorfa dentro de C e a esteja no interior de C.

Passo 2

Identificamos que o integrando é sin z/(z-i). A única singularidade é z=i. Precisamos verificar se i está dentro do círculo |z-2i|=2.
|i - 2i| = | - i| = 1 < 2,
logo z=i fica dentro do contorno.

Passo 3

Como sin z é inteira (holomorfa em C), podemos aplicar diretamente a Fórmula de Cauchy com f(z)=sin z e a=i. Assim
oint|z-2i|=2sin zz-i,dz = 2pi i,sin(i)

Passo 4

Para ficar mais explícito, podemos usar sin(i)=isinh(1). Então
2pi i,sin(i) = 2pi i,(isinh(1)) = -2pi,sinh(1)

Resposta

oint|z-2i|=2sin zz-i,dz = 2pi i,sin(i) ou -2pi,sinh(1)

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