Questão 2: (1.5 pontos)
(a) Enuncie o Critério de D’Alembert OU o Critério de Cauchy para séries.
(b) Determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}
é convergente, utilizando o critério escolhido e enunciado no item anterior.
(Dica: se necessário, utilize \sqrt[n]{n}=e^{\ln \left(n^{1 / n}\right)}=e^{\frac{\ln n}{n}} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, enunciar um dos critérios de convergência para séries (vamos escolher o Critério de D’Alembert, também chamado de teste da razão) e, em seguida, usar esse critério para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}}
é convergente.

Passo 2

O Critério de D’Alembert (teste da razão) diz o seguinte. Seja (a_n) uma sequência de termos de uma série \sum a_n e defina
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Então:
\begin{cases} \text{se }L<1,\text{ a série converge absolutamente (e, logo, converge);}\\ \text{se }L>1,\text{ a série diverge;}\\ \text{se }L=1,\text{ o teste é inconclusivo.} \end{cases}ééé

Passo 3

Aqui temos a_n = \dfrac{n}{3^n}. Vamos calcular
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\frac{n+1}{3^{\,n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{n+1}{3^{\,n+1}}\cdot\frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{3\,n} = \frac{1 + \tfrac1n}{3}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1 + \tfrac1n}{3} = \frac{1+0}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Como L=\tfrac{1}{3}<1, o Critério de D’Alembert garante que a série \sum \frac{n}{3^n} converge absolutamente e, portanto, é convergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^{n}} é convergente (converge absolutamente pelo Critério de D’Alembert).

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