Questão 0.4. Sejam A, B, C, D conjuntos não vazios. Mostre que se A approx B e C approx D, então A times B approx C times D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos bijeções fcolon Ato B e gcolon Cto D, então o produto cartesiano Atimes C é equipotente a Btimes D. O assunto aqui é bijeção (função injetora e sobrejetora) e produto cartesiano de conjuntos.

Passo 2

Como f e g são bijetoras, definimos a função candidata
hcolon Atimes C to Btimes D h(a,c) = l(f(a),,g(c)r)

Passo 3

Para ver que h é injetora, suponha
h(a,c)=h(a',c')
Então
(f(a),g(c)) = (f(a'),g(c'))
Como f e g são injetoras, segue que a=a' e c=c'.

Passo 4

Para ver que h é sobrejetora, tome qualquer (b,d)in Btimes D. Pela sobrejetividade de f existe ain A com f(a)=b, e pela de g existe cin C com g(c)=d. Logo
h(a,c)=(b,d),
mostrando que todo elemento de Btimes D tem um pré-imagem.

Passo 5

Como h é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto concluímos que
Atimes C approx Btimes D

Resposta

Atimes Capprox Btimes D

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