Questão 0.4. Sejam
conjuntos não vazios. Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos bijeções
e
, então o produto cartesiano
é equipotente a
. O assunto aqui é bijeção (função injetora e sobrejetora) e produto cartesiano de conjuntos.
Passo 2
Como
e
são bijetoras, definimos a função candidata
Passo 3
Para ver que
é injetora, suponha
Então
Como
e
são injetoras, segue que
e
.
Passo 4
Para ver que
é sobrejetora, tome qualquer
. Pela sobrejetividade de
existe
com
, e pela de
existe
com
. Logo
mostrando que todo elemento de
Passo 5
Como
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto concluímos que