Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda
.
(a) Para cada y fixado
é uma solução, se
for.
(a) Para cada y fixado
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
e pede para mostrar que, para cada
fixado, a função obtida ao transladar a variável espacial,
é também uma solução sempre que
for solução. Ou seja: dado
que satisfaz a equação, provar que
satisfaz
Passo 2
Vamos definir explicitamente a nova função e lembrar a regra do cálculo que vamos usar. Defina
onde
é um número fixo (parâmetro). Ao diferenciar
em relação a
ou a
usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se
então
e
. Em palavras: deslocar a coordenada
por uma constante não muda as taxas de variação em
(só “muda o lugar”), e não interfere nas derivadas em
.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em
. Como
com
e
, a regra da cadeia dá
Explicando: ao derivar em
mantemos
dependente de
mas não de
, então só aparece a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial segunda em
. Derivando de novo em
obtemos
Isto segue porque a derivada em
de
é simplesmente
, já que
não depende de
.
Passo 5
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em
. Agora
, então pela regra da cadeia
Ou seja, derivar em
depois de deslocar por uma constante é a mesma coisa que derivar em
antes do deslocamento.
Passo 6
Calcular a derivada parcial segunda em
. Derivando de novo em
dá
Passo 7
Substituir as derivadas obtidas na equação da onda para
. Usando os resultados dos passos anteriores:
Se
satisfaz
, então avaliando essa identidade no ponto
obtemos
Pelo que obtivemos,
Portanto
satisfaz a mesma equação da onda.
Passo 8
Interpretação e exemplo rápido para fixar a ideia: a equação da onda é invariante por translações espaciais — deslocar a solução em
por uma constante não altera a validade da equação. Exemplo: se
com
, então
também satisfaz a relação entre
e
e portanto é solução; a tradução só muda a fase espacial.
Resposta
Se
satisfaz
, então para qualquer
fixado a função
satisfaz
.