Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda u_{t t}=c^{2} u_{x x}.
(a) Para cada y fixado u(x-y, t) é uma solução, se u(x, t) for.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
u_{t t}=c^{2}u_{x x}
e pede para mostrar que, para cada y fixado, a função obtida ao transladar a variável espacial,
v(x,t)=u(x-y,t),
é também uma solução sempre que u(x,t) for solução. Ou seja: dado u que satisfaz a equação, provar que v satisfaz
v_{t t}=c^{2}v_{x x}.

Passo 2

Vamos definir explicitamente a nova função e lembrar a regra do cálculo que vamos usar. Defina
v(x,t):=u(x-y,t),
onde y é um número fixo (parâmetro). Ao diferenciar v em relação a x ou a t usamos a regra da cadeia para derivadas parciais: se s(x,t)=x-y então \partial s/\partial x=1 e \partial s/\partial t=0. Em palavras: deslocar a coordenada x por uma constante não muda as taxas de variação em x (só “muda o lugar”), e não interfere nas derivadas em t.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em t. Como v(x,t)=u(s,t) com s=x-y e \partial s/\partial t=0, a regra da cadeia dá
v_{t}(x,t)=u_{t}(s,t)=u_{t}(x-y,t).
Explicando: ao derivar em t mantemos s dependente de x mas não de t, então só aparece a derivada parcial de u em relação a t.

Passo 4

Calcular a derivada parcial segunda em t. Derivando de novo em t obtemos
v_{t t}(x,t)=u_{t t}(s,t)=u_{t t}(x-y,t).
Isto segue porque a derivada em t de u_t(s,t) é simplesmente u_{tt}(s,t), já que s não depende de t.

Passo 5

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em x. Agora \partial s/\partial x=1, então pela regra da cadeia
v_{x}(x,t)=u_{x}(s,t)\cdot\frac{\partial s}{\partial x}=u_{x}(s,t)=u_{x}(x-y,t).
Ou seja, derivar em x depois de deslocar por uma constante é a mesma coisa que derivar em x antes do deslocamento.

Passo 6

Calcular a derivada parcial segunda em x. Derivando de novo em x
v_{x x}(x,t)=u_{x x}(s,t)=u_{x x}(x-y,t).

Passo 7

Substituir as derivadas obtidas na equação da onda para v. Usando os resultados dos passos anteriores:
v_{t t}(x,t)=u_{t t}(x-y,t) \qquad\text{e}\qquad v_{x x}(x,t)=u_{x x}(x-y,t).
Se u satisfaz \,u_{t t}=c^{2}u_{x x}\,, então avaliando essa identidade no ponto (x-y,t) obtemos
u_{t t}(x-y,t)=c^{2}u_{x x}(x-y,t).
Pelo que obtivemos,
v_{t t}(x,t)=c^{2}v_{x x}(x,t).
Portanto v satisfaz a mesma equação da onda.

Passo 8

Interpretação e exemplo rápido para fixar a ideia: a equação da onda é invariante por translações espaciais — deslocar a solução em x por uma constante não altera a validade da equação. Exemplo: se u(x,t)=\sin(kx-\omega t) com \omega^{2}=c^{2}k^{2}, então v(x,t)=u(x-y,t)=\sin(k(x-y)-\omega t)=\sin(kx-ky-\omega t) também satisfaz a relação entre \omega e k e portanto é solução; a tradução só muda a fase espacial.

Resposta

Se u(x,t) satisfaz u_{t t}=c^{2}u_{x x}, então para qualquer y fixado a função v(x,t)=u(x-y,t) satisfaz v_{t t}=c^{2}v_{x x}.

Exercícios relacionados