Verifique se os subconjuntos W são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais V. Justifique.
V=\mathbb{R}^{2}, \quad W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x+y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}
é um subespaço de
\,V=\mathbb{R}^2.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: precisamos checar três condições fundamentais em W:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) está em W. Como
0 + 0 = 0,
temos (0,0)\in W. Logo, W não é vazio e satisfaz a primeira condição.

Passo 3

Agora, peguemos dois vetores quaisquer em W, digamos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), de modo que
x_1+y_1=0 \quad\text{e}\quad x_2+y_2=0.
Ao somá-los, obtemos
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Para ver se esse resultado está em W, somamos suas componentes:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2) = (x_1+y_1)+(x_2+y_2) = 0 + 0 = 0.
Logo, (x_1+x_2,\;y_1+y_2)\in W, o que prova a fechadura em soma.

Passo 4

Seja agora um escalar \alpha\in\mathbb{R} e um vetor (x,y)\in W, com x+y=0.
Multiplicando por \alpha, temos
\alpha\,(x,y) = (\alpha x,\;\alpha y).
Somando as componentes:
\alpha x + \alpha y = \alpha\,(x+y) = \alpha\cdot 0 = 0.
Isso mostra que (\alpha x,\alpha y)\in W, provando a fechadura em multiplicação escalar.

Resposta

W satisfaz as três condições de subespaço vetorial e, portanto, é subespaço de \mathbb{R}^2.

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