Verifique se os subconjuntos
são subespaços vetoriais dos respectivos espaços vetoriais
. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de
.
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: precisamos checar três condições fundamentais em :
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: precisamos checar três condições fundamentais em
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
temos
. Logo,
não é vazio e satisfaz a primeira condição.
Passo 3
Agora, peguemos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, de modo que
Ao somá-los, obtemos
Para ver se esse resultado está em
, somamos suas componentes:
Logo,
, o que prova a fechadura em soma.
Passo 4
Seja agora um escalar
e um vetor
, com
.
Multiplicando por , temos
Multiplicando por
Somando as componentes:
Isso mostra que
, provando a fechadura em multiplicação escalar.