Questão 3 - Uma partícula de massa m se desloca no sentido positivo de x. A energia potencial da partícula é nula para \mathrm{x}<0 e igual a Uo para \mathrm{x}>=0, onde é Uo constante e positiva. (a) Mostre que se E=a U o onde a \geq 1 então o número de onda na região 2 é dado por k_{2}=k_{1} \sqrt{(a-1) / a}. (b) Obtenhas as funções de onda a esquerda e a direita da barreira de potencial, para os parâmetros dados. (c) Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de a e resolva para a=1 e a=5. Discuta os resultados.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa m\) que incide da esquerda sobre um “degrau” de energia potencial
\[U(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\\ U_{0},&x\ge0, \end{cases}
com energia total E=a\,U_{0}\] e \(a\ge1. O objetivo é:
– (a) escrever o número de onda em cada região e mostrar que
k_{2}=k_{1}\sqrt{\frac{a-1}{a}},
– (b) obter as formas gerais das funções de onda em x<0 e x\ge0,
– (c) impor as condições de contorno em x=0 para achar os coeficientes de reflexão R e transmissão T, expressá-los em função de a, e calcular R e T para a=1 e a=5.
Passo 2
Na região 1 (x<0) a partícula vê U=0, então a equação de Schrödinger independente do tempo dá
e o de transmissão, usando conservação de fluxo (T=(k_{2}/k_{1})|C/A|^{2}), fica
T =\frac{k_{2}}{k_{1}}\, \Bigl|\tfrac{C}{A}\Bigr|^{2} =\frac{4\,k_{1}\,k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Em termos de a, com k_{2}/k_{1}=\sqrt{(a-1)/a}, temos
R =\Biggl(\frac{1-\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}\Biggr)^{2}, \qquad T =\frac{4\,\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{\Bigl(1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}\Bigr)^{2}}.
Passo 5
Para a=1: \sqrt{\tfrac{a-1}{a}}=0, então
R=1, \quad T=0.
Isso faz sentido: se E=U_{0}, a região 2 não sustenta onda propagante, ficando só onda evanescente (bloqueio total).
Para a=5: \sqrt{\tfrac{a-1}{a}}=\sqrt{\tfrac{4}{5}}=2/\sqrt{5}\approx0{,}8944,