Questão 3 - Uma partícula de massa m se desloca no sentido positivo de x. A energia potencial da partícula é nula para \mathrm{x}<0 e igual a Uo para \mathrm{x}>=0, onde é Uo constante e positiva. (a) Mostre que se E=a U o onde a \geq 1 então o número de onda na região 2 é dado por k_{2}=k_{1} \sqrt{(a-1) / a}. (b) Obtenhas as funções de onda a esquerda e a direita da barreira de potencial, para os parâmetros dados. (c) Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de a e resolva para a=1 e a=5. Discuta os resultados.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m\) que incide da esquerda sobre um “degrau” de energia potencial \[U(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\\ U_{0},&x\ge0, \end{cases}
com energia total E=a\,U_{0}\] e \(a\ge1. O objetivo é:
– (a) escrever o número de onda em cada região e mostrar que
k_{2}=k_{1}\sqrt{\frac{a-1}{a}},
– (b) obter as formas gerais das funções de onda em x<0 e x\ge0,
– (c) impor as condições de contorno em x=0 para achar os coeficientes de reflexão R e transmissão T, expressá-los em função de a, e calcular R e T para a=1 e a=5.

Passo 2

Na região 1 ( x<0) a partícula vê U=0, então a equação de Schrödinger independente do tempo dá
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\,\psi \quad\Longrightarrow\quad \psi''+k_{1}^{2}\,\psi=0,
com
k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}=\frac{\sqrt{2m\,a\,U_{0}}}{\hbar}.
Na região 2 ( x\ge0) temos U=U_{0}, logo
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''+U_{0}\psi=E\,\psi \quad\Longrightarrow\quad \psi''+k_{2}^{2}\,\psi=0,
once
k_{2} =\frac{\sqrt{2m\,(E-U_{0})}}{\hbar} =\frac{\sqrt{2m\,\bigl(a\,U_{0}-U_{0}\bigr)}}{\hbar} =\frac{\sqrt{2m\,a\,U_{0}}}{\hbar}\,\sqrt{1-\frac1a} =k_{1}\sqrt{\frac{a-1}{a}}.

Passo 3

As soluções gerais são combinações de ondas planas:
– Região 1 ( x<0):
\psi_{1}(x)=A\,e^{i\,k_{1}x}+B\,e^{-i\,k_{1}x},
onde A é amplitude incidente (pela esquerda) e B a refletida (voltando para x\to-\infty).
– Região 2 ( x\ge0):
\psi_{2}(x)=C\,e^{i\,k_{2}x},
pois não há onda vindo de +\infty.

Passo 4

Impondo continuidade de \psi e de \psi' em x=0:
\psi_{1}(0)=\psi_{2}(0) \quad\Longrightarrow\quad A+B=C,
\psi_{1}'(0)=\psi_{2}'(0) \quad\Longrightarrow\quad i\,k_{1}(A-B)=i\,k_{2}\,C.
Dessas duas equações resolvemos para as razões
\frac{B}{A} =\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}, \qquad \frac{C}{A} =\frac{2\,k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.
O coeficiente de reflexão é
R=\Bigl|\tfrac{B}{A}\Bigr|^{2} =\Biggl(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\Biggr)^{2},
e o de transmissão, usando conservação de fluxo ( T=(k_{2}/k_{1})|C/A|^{2}), fica
T =\frac{k_{2}}{k_{1}}\, \Bigl|\tfrac{C}{A}\Bigr|^{2} =\frac{4\,k_{1}\,k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Em termos de a, com k_{2}/k_{1}=\sqrt{(a-1)/a}, temos
R =\Biggl(\frac{1-\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}\Biggr)^{2}, \qquad T =\frac{4\,\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{\Bigl(1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}\Bigr)^{2}}.

Passo 5

Para a=1: \sqrt{\tfrac{a-1}{a}}=0, então
R=1, \quad T=0.
Isso faz sentido: se E=U_{0}, a região 2 não sustenta onda propagante, ficando só onda evanescente (bloqueio total).
Para a=5: \sqrt{\tfrac{a-1}{a}}=\sqrt{\tfrac{4}{5}}=2/\sqrt{5}\approx0{,}8944,
R=\Bigl(\tfrac{1-0{,}8944}{1+0{,}8944}\Bigr)^{2}\approx(0{,}0558)^{2}\approx3{,}1\times10^{-3}, \quad T=1-R\approx0{,}9969.
Ou seja, para E\gg U_{0} a transmissão é quase total e a reflexão quase nula.

Resposta

– (a) k_{2}=k_{1}\sqrt{(a-1)/a}.
– (b)
\psi_{1}(x)=A\,e^{i\,k_{1}x}+B\,e^{-i\,k_{1}x} para x<0,
\psi_{2}(x)=C\,e^{i\,k_{2}x} para x\ge0.
– (c)
R=\Biggl(\frac{1-\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}\Biggr)^{2}, \quad T=\frac{4\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}}{\bigl(1+\sqrt{\tfrac{a-1}{a}}\bigr)^{2}}.
Para a=1: R=1, T=0.
Para a=5: R\approx3{,}1\times10^{-3}, T\approx0{,}9969.

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