Questão 4 - Um pêndulo simples tem comprimento igual a 1,0 m e tem um corpo preso na extremidade da corda com massa igual a 0,3 \mathrm{~kg}. A energia deste oscilador é quantizada, e os valores permitidos de energia são dados por E_{n}=(n+1 / 2) h f_{0} onde n é um número inteiro e f_{0} a frequência do pêndulo. (a) Ache ache n para uma amplitude de 1,0^{\circ}. (b) Ache n tal que \quad E_{n+1} seja maior que \quad E_{n} por 0,01 por cento. Sugestão: leiam a seção 35.3 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) sobre o oscilador harmônico simples quântico.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento L=1{,}0\\ \mathrm{m} e massa m=0{,}3\\ \mathrm{kg}, cujo movimento, para pequenas oscilações, pode ser aproximado pelo oscilador harmônico simples (OHS). A energia quantizada desse OHS é
E_n = \bigl(n + \tfrac12\bigr)\,h\,f_0
onde n é um número inteiro, h a constante de Planck e
f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}
é a frequência natural.
(a) pede o valor de n correspondente a uma amplitude angular de 1{,}0^\circ.
(b) pede o n tal que a diferença E_{n+1}-E_n seja 0{,}01\% de E_n.

Passo 2

Calcular a frequência clássica f_0.
Usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e L=1{,}0\\ \mathrm{m}:
f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}8}{1{,}0}} = \frac{\sqrt{9{,}8}}{2\pi} \approx 0{,}498\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Expressar a energia clássica máxima E_{\rm cl} de uma oscilação de amplitude angular \theta_0. Para pequenas oscilações, a energia potencial máxima é
E_{\rm cl} = \tfrac12\,k\,x_{\max}^2,
com k = m g / L e x_{\max}=L\,\theta_0. Logo
E_{\rm cl} = \tfrac12\,(m g / L)\,(L\,\theta_0)^2 = \tfrac12\,m g L\,\theta_0^2.
Para \theta_0=1{,}0^\circ = \pi/180\\ \mathrm{rad}:
E_{\rm cl} = \tfrac12\,(0{,}3)(9{,}8)(1{,}0)\bigl(\tfrac{\pi}{180}\bigr)^2 \approx 4,48\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Determinar n igualando E_n a E_{\rm cl}. Como
E_n = \bigl(n+\tfrac12\bigr)\,h\,f_0,
temos
n + \tfrac12 = \frac{E_{\rm cl}}{h\,f_0} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{E_{\rm cl}}{h\,f_0} - \tfrac12.
Usando h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, f_0\approx0{,}498\\ \mathrm{Hz} e E_{\rm cl}\approx4{,}48\times10^{-4}\\ \mathrm{J}:
\frac{E_{\rm cl}}{h\,f_0} \approx \frac{4{,}48\times10^{-4}}{6{,}626\times10^{-34}\times0{,}498} \approx 1{,}36\times10^{30},
portanto
n \approx 1{,}36\times10^{30} - 0{,}5 \approx 1{,}36\times10^{30}.

Passo 5

Para (b), a diferença entre níveis é
E_{n+1}-E_n = h\,f_0.
Queremos que isso seja 0{,}01\% de E_n, ou seja
\frac{h\,f_0}{E_n} = 0{,}0001.
Como E_n=(n+\tfrac12)h\,f_0, isso dá
\frac{h\,f_0}{(n+\tfrac12)h\,f_0}= \frac1{n+\tfrac12} = 10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad n+\tfrac12 = 10^4 \quad\Longrightarrow\quad n \approx 10^4 - 0{,}5 \approx 9999{,}5.
Como n é inteiro, tomamos n\approx10^4.

Resposta

(a) n\approx1{,}36\times10^{30}.
(b) n\approx10^{4}.

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