Questão 4 - Um pêndulo simples tem comprimento igual a 1,0 m e tem um corpo preso na extremidade da corda com massa igual a
. A energia deste oscilador é quantizada, e os valores permitidos de energia são dados por
onde
é um número inteiro e
a frequência do pêndulo. (a) Ache ache
para uma amplitude de
. (b) Ache
tal que
seja maior que
por 0,01 por cento. Sugestão: leiam a seção 35.3 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) sobre o oscilador harmônico simples quântico.
Passo 1
O enunciado trata de um pêndulo simples de comprimento
e massa
, cujo movimento, para pequenas oscilações, pode ser aproximado pelo oscilador harmônico simples (OHS). A energia quantizada desse OHS é
onde
é um número inteiro,
a constante de Planck e
é a frequência natural.
(a) pede o valor de correspondente a uma amplitude angular de
.
(b) pede o tal que a diferença
seja
de
.
(a) pede o valor de
(b) pede o
Passo 2
Calcular a frequência clássica
.
Usando e
:
Usando
Passo 3
Expressar a energia clássica máxima
de uma oscilação de amplitude angular
. Para pequenas oscilações, a energia potencial máxima é
com
e
. Logo
Para
:
Passo 4
Determinar
igualando
a
. Como
temos
Usando
,
e
:
portanto
Passo 5
Para (b), a diferença entre níveis é
Queremos que isso seja
de
, ou seja
Como
, isso dá
Como
é inteiro, tomamos
.
Resposta
(a)
(b)
(b)