Questão 7 Sobre o crescimento da função f(x)=x^{3}-6 x+71, é correto afirmar que:
A f é crescente em ]-\infty, 0] e em [1,+\infty[.
(B) f é decrescente em ] -\infty,-1 ] e em [ 1,+\infty [.
చf é crescente em ]-\infty,-\sqrt{2}] e em [\sqrt{2},+\infty[.
D f é crescente em [0,+\infty[.
E f é decrescente em ]-\infty,-\sqrt{2}] e em [\sqrt{2},+\infty.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x+71
e pede os intervalos em que f é crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar derivadas e o teste de sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x+71\bigr)=3x^{2}-6=3\bigl(x^{2}-2\bigr).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3\bigl(x^{2}-2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=3(x^{2}-2) em cada intervalo determinado por -\sqrt{2} e \sqrt{2}:
a) Para \lvert x\rvert>\sqrt{2}, temos x^{2}>2, logo x^{2}-2>0 e f'(x)>0.
b) Para -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}, temos x^{2}<2, logo x^{2}-2<0 e f'(x)<0.
Isso significa que f é crescente quando f'(x)>0 e decrescente quando f'(x)<0.

Passo 5

Concluímos os intervalos de monotonicidade:
f é crescente em
]-\infty,-\sqrt{2}]\quad\text{e}\quad[\sqrt{2},+\infty[.
f é decrescente em
]-\sqrt{2},\sqrt{2}[.
Comparando com as alternativas, a correta é a que afirma o primeiro item acima.

Resposta

C

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