Questão 5.
Decida se as funções são contínuas. Justifique em detalhe.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
O objetivo aqui é decidir se essa função é contínua ou não. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e verificar se cada parte da função é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos desse ponto de qualquer direção, o valor da função também se aproxima do valor da função nesse ponto. Em termos mais simples, não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo da nossa função separadamente para verificar se são contínuos.
-
: - A função exponencial
é contínua para todo número real . - Dentro do expoente, temos
, que é um polinômio e, portanto, também é contínuo. - Como a composição de funções contínuas é contínua,
é contínua em todo o plano .
- A função exponencial
-
: - A função seno
é contínua para todo número real . - Dentro do seno, temos
, que novamente é um polinômio e é contínuo. - Assim, a composição
é contínua em todo o plano .
- A função seno
-
: - Este é um polinômio em
e , e todos os polinômios são funções contínuas em todo o espaço.
- Este é um polinômio em
Passo 4
Como cada termo individual da função
é contínuo e a soma de funções contínuas também é contínua, podemos concluir que a função inteira
é contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.