Questão 5. 2(not 2: theta) Decida se as funções são contínuas. Justifique em detalhe.
f(x, y)=e^x^2 y+sen(x y^2)+x^3 y

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
f(x, y) = e^x^2 y + sin(x y^2) + x^3 y
O objetivo aqui é decidir se essa função é contínua ou não. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em funções de várias variáveis e verificar se cada parte da função é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função f(x, y) é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos desse ponto de qualquer direção, o valor da função também se aproxima do valor da função nesse ponto. Em termos mais simples, não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo da nossa função separadamente para verificar se são contínuos.
  1. e^x^2 y :
    • A função exponencial e^z é contínua para todo número real z .
    • Dentro do expoente, temos x^2 y , que é um polinômio e, portanto, também é contínuo.
    • Como a composição de funções contínuas é contínua, e^x^2 y é contínua em todo o plano (x, y) .
  2. sin(x y^2) :
    • A função seno sin(z) é contínua para todo número real z .
    • Dentro do seno, temos x y^2 , que novamente é um polinômio e é contínuo.
    • Assim, a composição sin(x y^2) é contínua em todo o plano (x, y) .
  3. x^3 y :
    • Este é um polinômio em x e y , e todos os polinômios são funções contínuas em todo o espaço.

Passo 4

Como cada termo individual da função f(x, y) é contínuo e a soma de funções contínuas também é contínua, podemos concluir que a função inteira f(x, y) = e^x^2 y + sin(x y^2) + x^3 y é contínua em todo o plano (x, y) .

Resposta

A função f(x, y) = e^x^2 y + sin(x y^2) + x^3 y é contínua em todos os pontos do plano (x, y) .

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