Seja
.
(a) Calcule
.
(b) Determine e esboce o domínio de
.
(c) Determine a imagem de
.
(a) Calcule
(b) Determine e esboce o domínio de
(c) Determine a imagem de
Passo 1
O enunciado define a função de duas variáveis
O conteúdo aqui é domínio de funções com raiz quadrada em várias variáveis e determinação de imagem. Para resolver, precisamos:
. Substituir
para (a).
. Exigir que o radicando seja não-negativo para achar o domínio em
.
. Observar os valores mínimo e máximo possíveis de
no domínio para a imagem.
Passo 2
Para calcular
, basta substituir
e
em
:
Passo 3
O domínio de
é o conjunto de
tais que o radicando é não-negativo:
Dividindo por
, obtemos
Portanto, o domínio é a região fechada dentro da elipse de equação
, i.e.\ o interior e a fronteira dessa elipse centrada na origem com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
).
Passo 4
A imagem de
vem dos valores que
pode assumir quando
. O máximo ocorre em
, onde o radicando é
, dando
. O mínimo ocorre na fronteira da elipse, onde o radicando chega a zero, dando
.
Resposta
(a)
(b) Domínio: , que é o interior e a fronteira da elipse de semi-eixos
e
.
(c) Imagem: .
(b) Domínio:
(c) Imagem: