Seja g(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2.
(a) Calcule g(1,2).
(b) Determine e esboce o domínio de g.
(c) Determine a imagem de g.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
g(x,y) = raiz36 - 9x^2 - 4y^2,
O conteúdo aqui é domínio de funções com raiz quadrada em várias variáveis e determinação de imagem. Para resolver, precisamos:
1. Substituir (x,y)=(1,2) para (a).
2. Exigir que o radicando seja não-negativo para achar o domínio em R^2.
3. Observar os valores mínimo e máximo possíveis de g no domínio para a imagem.

Passo 2

Para calcular g(1,2), basta substituir x=1 e y=2 em
raiz36 - 9x^2 - 4y^2:
g(1,2)=raiz36 - 9cdot1^2 - 4cdot2^2 =raiz36 - 9 - 16 =raiz11,

Passo 3

O domínio de g é o conjunto de (x,y) tais que o radicando é não-negativo:
36 - 9x^2 - 4y^2 >= 0
Dividindo por 36, obtemos
x^24 + y^29 <= 1
Portanto, o domínio é a região fechada dentro da elipse de equação tfracx^24+tfracy^29=1, i.e.\ o interior e a fronteira dessa elipse centrada na origem com semi-eixos 2 (eixo x) e 3 (eixo y).

Passo 4

A imagem de g vem dos valores que
raiz36 - 9x^2 - 4y^2 pode assumir quando tfracx^24+tfracy^29<=1. O máximo ocorre em (0,0), onde o radicando é 36, dando g(0,0)=6. O mínimo ocorre na fronteira da elipse, onde o radicando chega a zero, dando g=0.

Resposta

(a) raiz11
(b) Domínio: (x,y)mid tfracx^24+tfracy^29<=1, que é o interior e a fronteira da elipse de semi-eixos 2 e 3.
(c) Imagem: [0,6].

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