Questão 4. Para um número natural
muito, muito, muito grande (
), o valor de seu fatorial pode ser aproximado pela fórmula de Stirling:
Considere, então, as séries abaixo
(i)
,
(ii)
,
e assinale a alternativa correta.
A Nenhuma das séries converge.
C Ambas as séries convergem condicionalmente.
D A série (i) converge absolutamente e a série (ii) converge condicionalmente.
E A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
(i)
(ii)
e assinale a alternativa correta.
A Nenhuma das séries converge.
C Ambas as séries convergem condicionalmente.
D A série (i) converge absolutamente e a série (ii) converge condicionalmente.
E A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá duas séries
(i)
(ii)
e pede para decidir a convergência absoluta ou condicional de cada uma. Vamos usar a fórmula de Stirling
(i)
(ii)
e pede para decidir a convergência absoluta ou condicional de cada uma. Vamos usar a fórmula de Stirling
para
.
Passo 2
Simplificamos o termo geral da série (i):
Pela fórmula de Stirling,
Como
é decrescente para
grande, pelo critério da série alternada temos convergência condicional. Para a convergência absoluta consideraríamos
, que diverge (p-série com
). Logo (i) converge condicionalmente, mas não absolutamente.
Passo 3
O termo geral da série (ii) é
Pela mesma aproximação,
logo os termos não tendem a zero e a série diverge (nem condicional nem absolutamente).
Passo 4
Concluímos que (i) converge condicionalmente e (ii) diverge. Entre as alternativas dadas, a única que não é refutada por esse resultado é a que afirma que nenhuma das outras é verdadeira.
Resposta
B Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.