Questão 4. Para um número natural n muito, muito, muito grande ( n \ggg 1 ), o valor de seu fatorial pode ser aproximado pela fórmula de Stirling:
n!\sim \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}, \quad \text { para } n \ggg 1 .
Considere, então, as séries abaixo
(i) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-(-n)^{n}}{e^{n} n!},
(ii) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{e^{n} n!}{n^{n}},
e assinale a alternativa correta.
A Nenhuma das séries converge.
C Ambas as séries convergem condicionalmente.
D A série (i) converge absolutamente e a série (ii) converge condicionalmente.
E A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá duas séries
(i) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{-(-n)^{n}}{e^{n}n!}
(ii) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{e^{n}n!}{n^{n}}
e pede para decidir a convergência absoluta ou condicional de cada uma. Vamos usar a fórmula de Stirling
n!\sim \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}
para n\gg1.

Passo 2

Simplificamos o termo geral da série (i):
\frac{-(-n)^{n}}{e^{n}n!} =-\frac{(-1)^{n}n^{n}}{e^{n}n!} =\;(-1)^{n+1}\,\frac{n^{n}}{e^{n}n!}.
Pela fórmula de Stirling,
\frac{n^{n}}{e^{n}n!} \sim\frac{n^{n}}{e^{n}\,\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \quad\longrightarrow\;0.
Como \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} é decrescente para n grande, pelo critério da série alternada temos convergência condicional. Para a convergência absoluta consideraríamos \sum 1/\sqrt{2\pi n}, que diverge (p-série com p=\tfrac12). Logo (i) converge condicionalmente, mas não absolutamente.

Passo 3

O termo geral da série (ii) é
(-1)^{n}\,\frac{e^{n}n!}{n^{n}} =(-1)^{n}\,\Bigl[\frac{n^{n}}{e^{n}n!}\Bigr]^{-1}.
Pela mesma aproximação,
\frac{e^{n}n!}{n^{n}} \sim\sqrt{2\pi n}\;\longrightarrow\infty,
logo os termos não tendem a zero e a série diverge (nem condicional nem absolutamente).

Passo 4

Concluímos que (i) converge condicionalmente e (ii) diverge. Entre as alternativas dadas, a única que não é refutada por esse resultado é a que afirma que nenhuma das outras é verdadeira.

Resposta

B Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.

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