Questão 1. Seja \left(a_{n}\right) uma sequência numérica crescente satisfazendo
\left|a_{n}\right|<M
para todo n \geq 1, onde M é um escalar estritamente positivo. Escolha uma das seguintes alternativas para sequência \left(a_{n}\right).
A Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
B \left(a_{n}\right) diverge.
( a_{n} ) converge para algum escalar L com -M \leq L \leq M.
D \left(a_{n}\right) converge para 0 .
E \left(a_{n}\right) converge para M.
Passo 1
O enunciado nos diz que \bigl(a_{n}\bigr) é uma sequência crescente e que satisfaz
\bigl|a_{n}\bigr|<M
para todo n\ge1, com M>0. O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Convergência de Sequências Monótonas, que diz que toda sequência crescente e limitada acima converge para um limite finito.
Passo 2
Como \bigl|a_{n}\bigr|<M, temos simultaneamente
a_{n}<M \quad\text{e}\quad a_{n}>-M
para todo n. Dessa forma, \bigl(a_{n}\bigr) é limitada acima por M e limitada abaixo por -M.
Passo 3
Por ser crescente e limitada acima (pelo valor M), o teorema garante que existe
L = \lim_{n\to\infty}a_{n}
e que L é um número real finito.
Passo 4
Tomando limite na desigualdade a_{n}<M, obtemos L\le M. De modo análogo, de a_{n}>-M vem L\ge -M. Logo
-\,M \;\le\; L \;\le\; M.
Resposta
C \bigl(a_{n}\bigr) converge para algum escalar L com -M \le L \le M.