Questão 2. Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n^{2}-2 n+6}}{6^{n^{2}-4 n+2}} e S_{2}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^{n^{3}-3 n-1}}{6^{n^{3}-2 n+1}}. Assinale a alternativa correta:
S S_{1} converge e S_{2} diverge.
B S_{1} e S_{2} convergem.
C S_{1} e S_{2} divergem .
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E S_{1} diverge e S_{2} converge.

Passo 1

O enunciado define duas séries infinitas
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{n^{2}-2 n+6}}{6^{n^{2}-4 n+2}}
e
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^{n^{3}-3 n-1}}{6^{n^{3}-2 n+1}},
e pede para determinar quais delas convergem ou divergem. Para isso vamos usar o teste da raiz (root test), que analisa o comportamento de \limsup |a_n|^{1/f(n)} para séries cujos expoentes crescem polinomialmente.

Passo 2

Analisando S_{1}, seja
a_n = \frac{5^{n^{2}-2 n+6}}{6^{n^{2}-4 n+2}}.
Aplicamos o teste da raiz considerando a raiz de ordem n^2:
\bigl|a_n\bigr|^{1/n^2} = \frac{5^{(n^2-2n+6)/n^2}}{6^{(n^2-4n+2)/n^2}} = \frac{5^{1 - 2/n + 6/n^2}}{6^{1 - 4/n + 2/n^2}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{5}{6}.
Como \frac{5}{6}<1, pelo teste da raiz concluímos que S_{1} converge absolutamente.

Passo 3

Agora para S_{2}, seja
b_n = \frac{7^{n^{3}-3 n-1}}{6^{n^{3}-2 n+1}}.
Aplicamos o teste da raiz de ordem n^3:
\bigl|b_n\bigr|^{1/n^3} = \frac{7^{(n^3-3n-1)/n^3}}{6^{(n^3-2n+1)/n^3}} = \frac{7^{1 - 3/n^2 - 1/n^3}}{6^{1 - 2/n^2 + 1/n^3}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{7}{6}.
Como \frac{7}{6}>1, o teste da raiz indica que b_n não tende a zero e a série S_{2} diverge.

Resposta

S _1 converge e S _2 diverge.

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