Questão 7. Quanto vale a soma dos três últimos dígitos do número
! ?
Passo 1
O enunciado pede a soma dos três últimos dígitos do número
Informações relevantes dadas/implícitas:
- A soma é dos termos
para . - Precisamos apenas dos três últimos dígitos desse número (depois, somá-los como dígitos simples).
Passo 2
Vamos transformar cada termo usando uma identidade simples com fatoriais. Para qualquer inteiro
vale
Explicação didática curta:
. Subtraindo
de
sobra exatamente
. Essa transformação é muito útil porque gera termos que se cancelam quando somados (efeito telescópico).
Passo 3
Aplicando a identidade ao somatório dado, obtemos
Esse somatório telescopa: ao expandir os termos,
todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
Como
, concluímos que o número pedido é
Passo 4
Agora precisamos dos três últimos dígitos de
. Primeiro observamos os três últimos dígitos de
. Para isso é útil saber quantos zeros finais (\emph{trailing zeros})
tem: cada zero final vem de um fator
; como há muitos fatores
, conta-se quantos fatores
existem em
pela soma
Calculando os termos:
Portanto
tem
zeros finais, isto é,
é divisível por
. Em particular, os três últimos dígitos de
são
.
Passo 5
Como
e os três últimos dígitos de
são
, ao subtrair
acontece o empréstimo em cascata e os três últimos dígitos de
tornam-se
. Exemplificando o raciocínio do empréstimo:
-
Logo os três últimos dígitos desão , e .
Passo 6
Agora somamos esses três dígitos:
Força aí — o truque principal foi perceber a identidade telescópica e que
termina em muitos zeros, então a subtração de
só afeta as casas finais formando
.
Resposta
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