Questão 7. Quanto vale a soma dos três últimos dígitos do número 2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+4 \cdot 4!+5 \cdot 5!+\ldots+60 \cdot 60 ! ?

Passo 1

O enunciado pede a soma dos três últimos dígitos do número
2\cdot 2! + 3\cdot 3! + 4\cdot 4! + \cdots + 60\cdot 60!.
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • A soma é dos termos k\cdot k! para k=2,3,\ldots,60.
  • Precisamos apenas dos três últimos dígitos desse número (depois, somá-los como dígitos simples).

Passo 2

Vamos transformar cada termo usando uma identidade simples com fatoriais. Para qualquer inteiro k\ge 1 vale
k\cdot k! = (k+1)k! - k! = (k+1)! - k!.
Explicação didática curta: (k+1)!=(k+1)k!. Subtraindo k! de (k+1)k! sobra exatamente k\cdot k!. Essa transformação é muito útil porque gera termos que se cancelam quando somados (efeito telescópico).

Passo 3

Aplicando a identidade ao somatório dado, obtemos
\sum_{k=2}^{60} k\cdot k! = \sum_{k=2}^{60}\bigl((k+1)!-k!\bigr).
Esse somatório telescopa: ao expandir os termos,
(3!-2!) + (4!-3!) + (5!-4!) + \cdots + (61!-60!)
todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
\sum_{k=2}^{60} k\cdot k! = 61! - 2!.
Como 2! = 2, concluímos que o número pedido é
S = 61! - 2.

Passo 4

Agora precisamos dos três últimos dígitos de S. Primeiro observamos os três últimos dígitos de 61!. Para isso é útil saber quantos zeros finais (\emph{trailing zeros}) 61! tem: cada zero final vem de um fator 10=2\cdot5; como há muitos fatores 2, conta-se quantos fatores 5 existem em 61! pela soma
\left\lfloor\frac{61}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{61}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{61}{125}\right\rfloor + \cdots.
Calculando os termos:
\left\lfloor\frac{61}{5}\right\rfloor = 12,\qquad \left\lfloor\frac{61}{25}\right\rfloor = 2,\qquad \left\lfloor\frac{61}{125}\right\rfloor = 0.
Portanto 61! tem 12+2=14 zeros finais, isto é, 61! é divisível por 10^{14}. Em particular, os três últimos dígitos de 61! são 000.

Passo 5

Como S = 61! - 2 e os três últimos dígitos de 61! são 000, ao subtrair 2 acontece o empréstimo em cascata e os três últimos dígitos de S tornam-se 998. Exemplificando o raciocínio do empréstimo:
  • \ldots 000 - 2 = \ldots 998.
    Logo os três últimos dígitos de S são 9, 9 e 8.

Passo 6

Agora somamos esses três dígitos:
9 + 9 + 8 = 26.
Força aí — o truque principal foi perceber a identidade telescópica e que 61! termina em muitos zeros, então a subtração de 2 só afeta as casas finais formando 998.

Resposta

26

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