Questão 4. Resolva os problemas:
Em quantos zeros termina o número 100!!\cdot 99!!?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar em quantos zeros termina o número 100!!\cdot 99!!.
Informações dadas (explicitadas): o produto envolvido é 100!!\cdot 99!!. Não há outras informações extra no enunciado.

Passo 2

O que é o duplo fatorial ( n!!) — explicação didática e exemplos curtos.
  • Para n par, n!! é o produto de todos os inteiros pares de 2 até n: por exemplo, 6!! = 6\cdot4\cdot2.
  • Para n ímpar, n!! é o produto de todos os inteiros ímpares de 1 até n: por exemplo, 7!! = 7\cdot5\cdot3\cdot1.
    Isso significa que 100!! é o produto dos números pares até 100 e 99!! é o produto dos números ímpares até 99.

Passo 3

Expressão de 100!! em termos de fatorial comum — detalhe passo a passo.
Escrevendo os fatores pares como 2 vezes algo:
100!! = 100\cdot98\cdot96\cdots2 = (2\cdot50)\,(2\cdot49)\,(2\cdot48)\cdots(2\cdot1).
Ao fatorar 2 de cada um dos 50 termos, obtemos
100!! = 2^{50}\cdot(50\cdot49\cdot48\cdots1) = 2^{50}\cdot 50!.
Expliquei: há exatamente 50 termos pares entre 2 e 100, então o fator 2 aparece 50 vezes.

Passo 4

Expressão de 99!! usando 100! e 100!! — argumento direto.
Observe que o produto de todos os números de 1 a 100 (ou seja, 100!) pode ser escrito como o produto dos pares vezes o produto dos ímpares:
100! = (\text{produtos pares})\cdot(\text{produtos ímpares}) = 100!!\cdot 99!!.í
Dessa igualdade segue
99!! = \frac{100!}{100!!}.
Substituindo a expressão de 100!! do Passo 3:
99!! = \frac{100!}{2^{50}\cdot 50!}.

Passo 5

Multiplicação 100!!\cdot 99!! — simplificação elegante.
Usando as fórmulas encontradas:
100!!\cdot 99!! = \bigl(2^{50}\cdot 50!\bigr)\cdot\frac{100!}{2^{50}\cdot 50!}.
Os fatores 2^{50} e 50! cancelam, ficando simplesmente
100!!\cdot 99!! = 100!.
Comentário amigo: é uma boa sacada perceber que o produto dos pares com o produto dos ímpares reconstituem 100!. Assim o problema vira: quantos zeros tem 100!.

Passo 6

Como contar zeros finais de um fatorial — ideia e fórmula.
Um zero final decimal é criado por um fator 10 no número, e 10=2\cdot5. No fatorial, há muitos mais fatores 2 do que 5, então o número de zeros finais é determinado pelo número de fatores 5 na decomposição em primos de n!.
Fórmula para a multiplicidade de um primo p em n!:
v_p(n!)=\sum_{k\ge1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Aqui iremos aplicar com p=5.

Passo 7

Aplicando a fórmula para n=100 e p=5 — contas explícitas e sem pular etapas.
Calcular os termos:
\left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor = 20, \qquad \left\lfloor\frac{100}{5^2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor = 4, \qquad \left\lfloor\frac{100}{5^3}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{100}{125}\right\rfloor = 0.
Somando os termos não-nulos:
v_5(100!) = 20 + 4 = 24.
Portanto há 24 fatores 5 em 100!.

Passo 8

Verificação rápida de que os fatores 2 são suficientes (garantia de que 5 é o limitante).
Calculemos v_2(100!) só para confirmar que há mais que 24 fatores 2:
v_2(100!) = \left\lfloor\frac{100}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{32}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{64}\right\rfloor =50+25+12+6+3+1=97.
Como 97\gg 24, os fatores 2 não restrigem: o número de zeros finais é de fato v_5(100!)=24.

Passo 9

Conclusão final e interpretação para a prova.
  • Identificar que 100!!\cdot 99!!=100! foi o truque principal (produto pares × produto ímpares = produto de todos).
  • Depois contar fatores 5 em 100! com a fórmula \sum \lfloor 100/5^k\rfloor.
  • Resultado: 24 zeros finais.

Resposta

24

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