Questão 4. Resolva os problemas:
Em quantos zeros termina o número
Em quantos zeros termina o número
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar em quantos zeros termina o número
.
Informações dadas (explicitadas): o produto envolvido é . Não há outras informações extra no enunciado.
Informações dadas (explicitadas): o produto envolvido é
Passo 2
O que é o duplo fatorial (
) — explicação didática e exemplos curtos.
- Para
par, é o produto de todos os inteiros pares de até : por exemplo, . - Para
ímpar, é o produto de todos os inteiros ímpares de até : por exemplo, .
Isso significa queé o produto dos números pares até e é o produto dos números ímpares até .
Passo 3
Expressão de
em termos de fatorial comum — detalhe passo a passo.
Escrevendo os fatores pares como vezes algo:
Escrevendo os fatores pares como
Ao fatorar
de cada um dos
termos, obtemos
Expliquei: há exatamente
termos pares entre
e
, então o fator
aparece
vezes.
Passo 4
Expressão de
usando
e
— argumento direto.
Observe que o produto de todos os números de a
(ou seja,
) pode ser escrito como o produto dos pares vezes o produto dos ímpares:
Observe que o produto de todos os números de
Dessa igualdade segue
Substituindo a expressão de
do Passo 3:
Passo 5
Multiplicação
— simplificação elegante.
Usando as fórmulas encontradas:
Usando as fórmulas encontradas:
Os fatores
e
cancelam, ficando simplesmente
Comentário amigo: é uma boa sacada perceber que o produto dos pares com o produto dos ímpares reconstituem
. Assim o problema vira: quantos zeros tem
.
Passo 6
Como contar zeros finais de um fatorial — ideia e fórmula.
Um zero final decimal é criado por um fator no número, e
. No fatorial, há muitos mais fatores
do que
, então o número de zeros finais é determinado pelo número de fatores
na decomposição em primos de
.
Fórmula para a multiplicidade de um primo em
:
Um zero final decimal é criado por um fator
Fórmula para a multiplicidade de um primo
onde
é a parte inteira. Aqui iremos aplicar com
.
Passo 7
Aplicando a fórmula para
e
— contas explícitas e sem pular etapas.
Calcular os termos:
Calcular os termos:
Somando os termos não-nulos:
Portanto há
fatores
em
.
Passo 8
Verificação rápida de que os fatores
são suficientes (garantia de que
é o limitante).
Calculemos só para confirmar que há mais que
fatores
:
Calculemos
Como
, os fatores
não restrigem: o número de zeros finais é de fato
.
Passo 9
Conclusão final e interpretação para a prova.
- Identificar que
foi o truque principal (produto pares × produto ímpares = produto de todos). - Depois contar fatores
em com a fórmula . - Resultado:
zeros finais.