Questão 7. Três sócios, A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu?

Passo 1

O enunciado dá os investimentos dos três sócios e o lucro total, e pede quanto cada um recebeu quando a divisão é feita de maneira diretamente proporcional ao investimento. Informações dadas:
I_A=30{,}000,\quad I_B=40{,}000,\quad I_C=50{,}000
(esses valores estão em reais) e o lucro total
P=24{,}000.
Pergunta: determinar x_A, x_B e x_C, as quantias que A, B e C receberam, respectivamente.

Passo 2

Entender o que significa “diretamente proporcional ao valor investido”. Isso quer dizer que as quantias recebidas têm a mesma razão entre si que os investimentos. Em símbolos:
x_A:x_B:x_C=I_A:I_B:I_C.
Uma forma prática de usar isso é introduzir uma constante de proporcionalidade k tal que
x_A=k\,I_A,\quad x_B=k\,I_B,\quad x_C=k\,I_C.
Aqui k é o mesmo para os três porque multiplicamos cada investimento pelo mesmo fator para obter a parte do lucro.

Passo 3

Usamos a condição de que a soma das partes é o lucro total:
x_A+x_B+x_C=P.
Substituindo x_A=kI_A etc., obtemos
k(I_A+I_B+I_C)=P.
Agora vamos calcular I_A+I_B+I_C. Somando os investimentos (aqui peguei os valores do enunciado):
I_A+I_B+I_C=30{,}000+40{,}000+50{,}000=120{,}000.

Passo 4

Isolando k na equação da soma:
k=\frac{P}{I_A+I_B+I_C}=\frac{24{,}000}{120{,}000}.
Agora simplificamos essa fração. Dividindo numerador e denominador por 1{,}000 obtemos
k=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}=0{,}2.
Interpretando: cada real investido rende 0{,}2 reais do lucro total, ou seja, cada 1{,}000 reais investidos corresponde a 200 reais do lucro.

Passo 5

Calculamos as partes usando x_i=kI_i.
Para A:
x_A=kI_A=0{,}2\times 30{,}000=6{,}000.
Para B:
x_B=kI_B=0{,}2\times 40{,}000=8{,}000.
Para C:
x_C=kI_C=0{,}2\times 50{,}000=10{,}000.
Expliquei cada multiplicação: multiplicar por 0{,}2 é o mesmo que dividir por 5, então 30{,}000/5=6{,}000, 40{,}000/5=8{,}000, 50{,}000/5=10{,}000.

Passo 6

Verificação rápida: a soma das partes deve ser o lucro total:
6{,}000+8{,}000+10{,}000=24{,}000,
que coincide com P. Está consistente.

Resposta

A recebeu \text{R\$}6.000
B recebeu \text{R\$}8.000
C recebeu \text{R\$}10.000

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