Questão 7. Três sócios,
e
resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu?
Passo 1
O enunciado dá os investimentos dos três sócios e o lucro total, e pede quanto cada um recebeu quando a divisão é feita de maneira diretamente proporcional ao investimento. Informações dadas:
(esses valores estão em reais) e o lucro total
Pergunta: determinar
,
e
, as quantias que
,
e
receberam, respectivamente.
Passo 2
Entender o que significa “diretamente proporcional ao valor investido”. Isso quer dizer que as quantias recebidas têm a mesma razão entre si que os investimentos. Em símbolos:
Uma forma prática de usar isso é introduzir uma constante de proporcionalidade
tal que
Aqui
é o mesmo para os três porque multiplicamos cada investimento pelo mesmo fator para obter a parte do lucro.
Passo 3
Usamos a condição de que a soma das partes é o lucro total:
Substituindo
etc., obtemos
Agora vamos calcular
. Somando os investimentos (aqui peguei os valores do enunciado):
Passo 4
Isolando
na equação da soma:
Agora simplificamos essa fração. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Interpretando: cada real investido rende
reais do lucro total, ou seja, cada
reais investidos corresponde a
reais do lucro.
Passo 5
Calculamos as partes usando
.
Para
:
Para
:
Para
:
Expliquei cada multiplicação: multiplicar por
é o mesmo que dividir por
, então
,
,
.
Passo 6
Verificação rápida: a soma das partes deve ser o lucro total:
que coincide com
. Está consistente.