Questão 1. Seja F um corpo. Prove que:
(Lei do cancelamento do produto) Se alpha beta=alpha gamma e alpha neq 0, então beta=gamma.

Passo 1

O enunciado afirma que em um corpo F temos alphabeta=alphagamma e alphaneq0, e pede para mostrar que então beta=gamma.
Conteúdo usado: axioma do corpo que garante existência de inverso multiplicativo para todo elemento não-nulo, associatividade do produto e elemento neutro.

Passo 2

Como alphaneq0 e estamos em um corpo, existe o inverso multiplicativo de alpha, que chamamos de alpha^-1, tal que
alpha^-1alpha = 1
Multiplicamos a equação alphabeta=alphagamma à esquerda por alpha^-1:
alpha^-1(alphabeta)=alpha^-1(alphagamma)
Pela associatividade do produto, isso vira
(alpha^-1alpha),beta = (alpha^-1alpha),gamma

Passo 3

Usando que alpha^-1alpha=1 e que 1 é o elemento neutro do produto, obtemos
1cdotbeta = 1cdotgamma Longrightarrow beta = gamma

Resposta

beta = gamma.

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