Questão 2.

Um operador A \in \mathrm{~L}(E) é chamado de positivo se for auto-adjunto e só tiver autovalores não-negativos.
Mostre que são equivalentes:
(i) A é positivo;
(ii) Existe uma base ortonormal \mathcal{B} na qual [A]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} é diagonal, com entradas diagonais não-negativas.
(iii) Existe um operador positivo R \in L(E) tal que A=R^{2}.
(iv) Existe um operador S: E \rightarrow F (em que F é algum outro EPI, possivelmente diferente de E ) tal que A=S^{*} S.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço interno E de dimensão finita, as quatro afirmações abaixo são equivalentes:
(i) A\in L(E) é positivo (auto-adjunto e com todos os autovalores \ge0);
(ii) existe base ortonormal \mathcal B que diagonaliza A com valores diagonais \ge0;
(iii) existe operador positivo R tal que A=R^2;
(iv) existe espaço F e S\colon E\to F com A=S^*S.
O conteúdo principal será o Teorema espectral para autoadjuntos, cálculo funcional (raízes de autovalores) e a observação simples sobre produtos do tipo S^*S.

Passo 2

Mostramos (i)\Rightarrow(ii). Pelo Teorema espectral em dimensão finita, como A é auto-adjunto existe uma base ortonormal \mathcal B de autovetores de A e a matriz [A]_{\mathcal B}^{\mathcal B} é diagonal com entradas iguais aos autovalores de A. Como A é positivo, esses autovalores são todos \ge0. Portanto [A]_{\mathcal B}^{\mathcal B} é diagonal com entradas não-negativas.

Passo 3

Mostramos (ii)\Rightarrow(iii). Suponha que em \mathcal B valha
[A]_{\mathcal B}^{\mathcal B} = \diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n),
com cada \lambda_i\ge0. Defina em \mathcal B o operador R cuja matriz é
[R]_{\mathcal B}^{\mathcal B} = \diag(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n}).
Então R é auto-adjunto (as raízes são reais) e positivo (raízes \ge0), e claramente
R^2\;=\;\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\;=\;[A]_{\mathcal B}^{\mathcal B},
ou seja, A=R^2.

Passo 4

Mostramos (iii)\Rightarrow(iv). Se existir operador positivo R em E com A=R^2, basta tomar F=E e S=R. Então
S^*S \;=\;R^*R \;=\;R\,R \;=\;R^2 \;=\;A,
pois R é auto-adjunto ( R^*=R).

Passo 5

Mostramos (iv)\Rightarrow(i). Seja A=S^*S para algum S\colon E\to F. Então para todo x\in E
\langle Ax,x\rangle \;=\;\langle S^*Sx,x\rangle \;=\;\langle Sx,Sx\rangle \;=\;\|Sx\|^2\;\ge0,
o que implica que A é auto-adjunto e \langle Ax,x\rangle\ge0. Em finito-dimensional isso garante que todos os autovalores de A são reais e \ge0. Logo A é positivo.

Resposta

As quatro condições (i), (ii), (iii) e (iv) são equivalentes.

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