Questão 2.
Um operador
é chamado de positivo se for auto-adjunto e só tiver autovalores não-negativos.
Mostre que são equivalentes:
(i)
é positivo;
(ii) Existe uma base ortonormal
na qual
é diagonal, com entradas diagonais não-negativas.
(iii) Existe um operador positivo
tal que
.
(iv) Existe um operador
(em que
é algum outro EPI, possivelmente diferente de
) tal que
.
Mostre que são equivalentes:
(i)
(ii) Existe uma base ortonormal
(iii) Existe um operador positivo
(iv) Existe um operador
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço interno
de dimensão finita, as quatro afirmações abaixo são equivalentes:
(i) é positivo (auto-adjunto e com todos os autovalores
);
(ii) existe base ortonormal que diagonaliza
com valores diagonais
;
(iii) existe operador positivo tal que
;
(iv) existe espaço e
com
.
O conteúdo principal será o Teorema espectral para autoadjuntos, cálculo funcional (raízes de autovalores) e a observação simples sobre produtos do tipo .
(i)
(ii) existe base ortonormal
(iii) existe operador positivo
(iv) existe espaço
O conteúdo principal será o Teorema espectral para autoadjuntos, cálculo funcional (raízes de autovalores) e a observação simples sobre produtos do tipo
Passo 2
Mostramos
. Pelo Teorema espectral em dimensão finita, como
é auto-adjunto existe uma base ortonormal
de autovetores de
e a matriz
é diagonal com entradas iguais aos autovalores de
. Como
é positivo, esses autovalores são todos
. Portanto
é diagonal com entradas não-negativas.
Passo 3
Mostramos
. Suponha que em
valha
com cada
. Defina em
o operador
cuja matriz é
Então
é auto-adjunto (as raízes são reais) e positivo (raízes
), e claramente
ou seja,
.
Passo 4
Mostramos
. Se existir operador positivo
em
com
, basta tomar
e
. Então
pois
é auto-adjunto (
).
Passo 5
Mostramos
. Seja
para algum
. Então para todo
o que implica que
é auto-adjunto e
. Em finito-dimensional isso garante que todos os autovalores de
são reais e
. Logo
é positivo.
Resposta
As quatro condições (i), (ii), (iii) e (iv) são equivalentes.