Questão 3. A raiz quadrada de um operador positivo A é outro operador positivo R tal que A=R^{2}. Mostre que cada operador positivo possui exatamente uma raiz quadrada. Você pode utilizar o Teorema da Interpolação polinomial: Para quaisquer sequências x_{1}, \ldots, x_{k} e y_{1}, \ldots, y_{k}, existe um polinômio p(x) tal que p\left(x_{i}\right)=y_{i} para todo i.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um operador autoadjunto e positivo A num espaço vetorial de dimensão finita, existe um único operador também positivo R tal que
A = R^2.
O conteúdo principal envolve operadores positivos, autoadjuntos e o uso do Teorema de Interpolação Polinomial para construir uma função polinomial que reproduza a raiz quadrada nos autovalores de A.

Passo 2

Como A é autoadjunto e positivo, pelo Teorema Espectral existe uma base ortonormal \{v_1,\dots,v_n\} de autovetores de A e autovalores reais não negativos \lambda_1,\dots,\lambda_n, isto é,
A\,v_i = \lambda_i\,v_i, \quad \lambda_i\ge0, \quad i=1,\dots,n.

Passo 3

Para cada i defina \mu_i = \sqrt{\lambda_i}. Pelo Teorema da Interpolação Polinomial existe um polinômio p(x) tal que
p(\lambda_i)=\mu_i \quad \text{para }i=1,\dots,n.
Definimos então o operador
R = p(A).
Em cada autovetor v_i temos
R\,v_i = p(A)\,v_i = p(\lambda_i)\,v_i = \mu_i\,v_i,
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R^2\,v_i = \mu_i^2\,v_i = \lambda_i\,v_i \quad\Longrightarrow\quad R^2 = A.
Além disso, como cada \mu_i\ge0, para todo vetor v=\sum_i c_i v_i obtemos
\langle Rv,v\rangle = \sum_i \mu_i\,|c_i|^2 \ge 0,
mostrando que R é positivo.

Passo 4

Para a unicidade, suponha que exista outro operador positivo R' tal que (R')^2 = A. Como A e R' são autoadjuntos e (R')^2 tem a mesma base espectral de A, eles se diagonalizam na mesma base \{v_i\}. Sejam \alpha_i os autovalores de R' em v_i. De (R')^2v_i = A v_i segue
\alpha_i^2 = \lambda_i,
e da positividade de R' tem-se \alpha_i\ge0. Logo \alpha_i=\sqrt{\lambda_i}=\mu_i e R'v_i = Rv_i para todo i. Assim R'=R.

Resposta

Cada operador positivo A de dimensão finita possui exatamente uma raiz quadrada positiva.

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