Questão 3. A raiz quadrada de um operador positivo
é outro operador positivo
tal que
. Mostre que cada operador positivo possui exatamente uma raiz quadrada. Você pode utilizar o Teorema da Interpolação polinomial: Para quaisquer sequências
e
, existe um polinômio
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um operador autoadjunto e positivo
num espaço vetorial de dimensão finita, existe um único operador também positivo
tal que
O conteúdo principal envolve operadores positivos, autoadjuntos e o uso do Teorema de Interpolação Polinomial para construir uma função polinomial que reproduza a raiz quadrada nos autovalores de
.
Passo 2
Como
é autoadjunto e positivo, pelo Teorema Espectral existe uma base ortonormal
de autovetores de
e autovalores reais não negativos
, isto é,
Passo 3
Para cada
defina
. Pelo Teorema da Interpolação Polinomial existe um polinômio
tal que
Definimos então o operador
Em cada autovetor
temos
logo
Além disso, como cada
, para todo vetor
obtemos
mostrando que
é positivo.
Passo 4
Para a unicidade, suponha que exista outro operador positivo
tal que
. Como
e
são autoadjuntos e
tem a mesma base espectral de
, eles se diagonalizam na mesma base
. Sejam
os autovalores de
em
. De
segue
e da positividade de
tem-se
. Logo
e
para todo
. Assim
.
Resposta
Cada operador positivo
de dimensão finita possui exatamente uma raiz quadrada positiva.