Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
(\mathbb{F}).
Questão 6. Seja \mathbb{V}=\mathbb{R}^{2 \times 2}, o espaço vetorial de todas as matrizes 2 \times 2, e tome
B=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
Seja W o subespaço de \mathbb{V} consistindo de todas as matrizes A tais que A B=0. Seja f \in W^{0}. Suponha que f(I)=0 e f\text{(C)}=3, em que I é a matriz identidade 2 \times 2 e C é a matriz
C=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
Calcule f(B).

Passo 1

O enunciado fala de \mathbb{V} = \mathbb{R}^{2\times2} com o subespaço
W = \{A\in\mathbb{V}\mid A\,B = 0\},
onde
B = \begin{pmatrix}2 & -2\\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
Queremos f\in W^0 (isto é, f\colon\mathbb{V}\to\mathbb{R} linear com f(A)=0 sempre que A\in W), tal que f(I)=0 e f\text{(C)}=3, onde
I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
O objetivo é achar f(B). Para isso vamos ( 1) achar uma base de W, ( 2) traduzir f por uma matriz de coeficientes, ( 3) impor as condições de aniquilação em W e de valores dados, e ( 4) calcular f(B).

Passo 2

Determinamos W resolvendo
A = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}, \quad A\,B = \begin{pmatrix}2a-b & -2a+b\\\ 2c-d & -2c+d\end{pmatrix} =0.
As equações dão 2a-b=0 e 2c-d=0, ou seja
b=2a,\quad d=2c.
Logo
W = \Bigl\{\begin{pmatrix}a&2a\c&2c\end{pmatrix}\Bigr\} = \operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&0\end{pmatrix},\,\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&2\end{pmatrix}\Bigr\}.

Passo 3

Um funcional linear f em \mathbb{V} pode ser escrito como
f(A) = \alpha\,a + \beta\,b + \gamma\,c + \delta\,d \quad\text{para }A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
equivalente a um “produto interno” com
\;F=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\gamma&\delta\end{pmatrix}.
Como f\in W^0, deve valer f\bigl(\begin{psmallmatrix}1&2\\\ 0&0\end{psmallmatrix}\bigr)=0 e f\bigl(\begin{psmallmatrix}0&0\\\ 1&2\end{psmallmatrix}\bigr)=0. Isso dá
\alpha + 2\beta = 0, \quad \gamma + 2\delta = 0.

Passo 4

Impondo f(I)=0 e f\text{(C)}=3 temos
f(I)=\alpha+\delta=0, \qquad f\text{(C)}=\delta=3.
Da segunda vem \delta=3. Então de \alpha+\delta=0 segue \alpha=-3.

Passo 5

Usando \alpha+2\beta=0 com \alpha=-3 obtemos
-3 + 2\beta = 0 \;\Longrightarrow\; \beta = \tfrac32.
E de \gamma+2\delta=0 com \delta=3 obtemos
\gamma + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \gamma = -6.
Portanto
F = \begin{pmatrix}\alpha&\beta\\gamma&\delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & \tfrac32 \\\\ -6 & 3\end{pmatrix},
e
f(A) = -3\,a + \tfrac32\,b -6\,c + 3\,d.

Passo 6

Finalmente, para B=\begin{pmatrix}2&-2\\\ -1&1\end{pmatrix} vale
f(B) = -3\cdot2 + \tfrac32\cdot(-2) -6\cdot(-1) + 3\cdot1 = -6 -3 +6 +3 = 0.

Resposta

f(B) = 0.

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