Questão 1. Seja A: E \rightarrow F linear. Prove que:
(a) Se A é sobrejetiva, então A A^{*} é inversível, e A^{*}\left(A A^{*}\right): F \rightarrow E é uma inversa à direita de A;

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear
A: E \to F
entre espaços de Hilbert (ou espaços com produto interno), e de seu adjunto
A^{*}: F \to E.
Queremos mostrar que, se A é sobrejetiva, então
  1. o operador
A A^{*}:F\to F
é inversível;
2. a aplicação
S \;=\; A^{*}\bigl(A A^{*}\bigr)^{-1}:F\to E
é uma inversa à direita de A, isto é, A\,S = I_F.

Passo 2

Mostramos primeiro que A A^{*} é injetor. Para isso, note que para todo y\in F vale
\bigl\langle (A A^{*})y,\;y\bigr\rangle =\bigl\langle A^{*}y,\;A^{*}y\bigr\rangle =\|A^{*}y\|^{2}\,\ge0.
Se (A A^{*})y=0, então
\|A^{*}y\|^{2}=0, logo A^{*}y=0. Mas como A é sobrejetiva, sabe-se que \ker A^{*}=(\operatorname{Im}A)^{\perp}=\{0\}. Portanto y=0. Concluímos que A A^{*} é injetor.

Passo 3

Agora mostramos que A A^{*} é sobrejetor. De fato,
\operatorname{Im}(A A^{*}) = A\bigl(\operatorname{Im}A^{*}\bigr) = A\bigl((\ker A)^{\perp}\bigr).
Mas \operatorname{Im}A=F (pois A é sobrejetiva), e A mapeia (\ker A)^{\perp} exatamente em \operatorname{Im}A. Logo
\operatorname{Im}(A A^{*})=F.

Passo 4

Como A A^{*}:F\to F é um operador linear injetor e sobrejetor em um espaço de dimensão possivelmente infinita, temos que ele é invertível (é um isomorfismo). Em notação, existe
\bigl(A A^{*}\bigr)^{-1}:F\to F.

Passo 5

Definimos então
S \;=\; A^{*}\,\bigl(A A^{*}\bigr)^{-1}:F\;\longrightarrow\;E.
Verifiquemos que A\,S = I_{F}. De fato, para todo y\in F,
A\bigl(S(y)\bigr) = A\Bigl(A^{*}\bigl(A A^{*}\bigr)^{-1}y\Bigr) = \bigl(A A^{*}\bigr)\Bigl((A A^{*})^{-1}y\Bigr) = y.
Portanto A\,S=I_F, ou seja, S é inversa à direita de A.

Resposta

O operador A A^{*}:F\to F é inversível, e a aplicação
S = A^{*}\,\bigl(A A^{*}\bigr)^{-1}:F\to E
é uma inversa à direita de A (isto é, A\,S = I_{F}).

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