Questão 1. Seja
linear. Prove que:
(a) Se
é sobrejetiva, então
é inversível, e
é uma inversa à direita de
;
(a) Se
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear
entre espaços de Hilbert (ou espaços com produto interno), e de seu adjunto
Queremos mostrar que, se
é sobrejetiva, então
- o operador
é inversível;
2. a aplicação
2. a aplicação
é uma inversa à direita de
, isto é,
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é injetor. Para isso, note que para todo
vale
Se
, então
, logo
. Mas como
é sobrejetiva, sabe-se que
. Portanto
. Concluímos que
é injetor.
Passo 3
Agora mostramos que
é sobrejetor. De fato,
Mas
(pois
é sobrejetiva), e
mapeia
exatamente em
. Logo
.
Passo 4
Como
é um operador linear injetor e sobrejetor em um espaço de dimensão possivelmente infinita, temos que ele é invertível (é um isomorfismo). Em notação, existe
Passo 5
Definimos então
Verifiquemos que
. De fato, para todo
,
Portanto
, ou seja,
é inversa à direita de
.
Resposta
O operador
é inversível, e a aplicação
é uma inversa à direita de
(isto é,
).