Questão 1.

Seja \mathcal{B} uma autobase para um operador A \in \mathrm{~L}(E). Se p(x) é um polinômio qualquer, mostre que \mathcal{B} também é uma autobase para p(A).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear A\in L(E) que admite uma autobase \mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\} (isto é, cada v_i é autovetor de A) e nos pede para mostrar que, para qualquer polinômio p(x), \mathcal{B} é também autobase de p(A).
Conteúdo: Álgebra Linear – polinômio de operador e autovetores.

Passo 2

Como p(x) é um polinômio qualquer, escrevemos
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m
e definimos por definição funcional
p(A)=a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_m A^m.

Passo 3

Pelo fato de \mathcal{B} ser autobase de A, temos para cada i
A v_i = \lambda_i v_i,
onde \lambda_i é o autovalor correspondente. Logo, por indução,
A^k v_i = \lambda_i^k v_i \quad\text{para todo }k\in\{1,\dots,m\}.

Passo 4

Aplicando p(A) a um vetor v_i\in\mathcal{B}, obtemos
p(A)v_i = \bigl(a_0 I + a_1 A + \cdots + a_m A^m\bigr)v_i = a_0 v_i + a_1\lambda_i v_i + \cdots + a_m\lambda_i^m v_i = p(\lambda_i)\,v_i.
Isto mostra que v_i é autovetor de p(A), com autovalor p(\lambda_i).

Resposta

A mesma base \mathcal{B}=\{v_i\} diagonaliza p(A), pois
p(A)v_i = p(\lambda_i)\,v_i
para todo i, ou seja, \mathcal{B} é autobase de p(A).

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