Questão 1.
Seja
uma autobase para um operador
. Se
é um polinômio qualquer, mostre que
também é uma autobase para
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
que admite uma autobase
(isto é, cada
é autovetor de
) e nos pede para mostrar que, para qualquer polinômio
,
é também autobase de
.
Conteúdo: Álgebra Linear – polinômio de operador e autovetores.
Conteúdo: Álgebra Linear – polinômio de operador e autovetores.
Passo 2
Como
é um polinômio qualquer, escrevemos
e definimos por definição funcional
Passo 3
Pelo fato de
ser autobase de
, temos para cada
onde
é o autovalor correspondente. Logo, por indução,
Passo 4
Aplicando
a um vetor
, obtemos
Isto mostra que
é autovetor de
, com autovalor
.
Resposta
A mesma base
diagonaliza
, pois
para todo
, ou seja,
é autobase de
.