Questão 5: O princípio de Pascal
Deduza matematicamente o princípio de Pascal que afirma que a diferença de pressão como consequência da diferença na elevação de uma coluna de fluido. Sendo representado por
p=-\rho g z,
onde o eixo \hat{z} está na direção vertical oposita ao campo gravitacional, \rho e g as constantes, \rho é a densidade do fluido, e g é o modulo de aceleração gravitacional.
Dica: Demostre e utilize a relação
\nabla p=\rho \vec{g}
onde a aceleração gravitational é dada por
\vec{g}=-g \hat{z}
e um analogo entre a relação acima e definição de potencial para força conservativa
\nabla U=-\vec{f} .
Notamos que, em particular, para a forca gravitacional, temos
\vec{f}=m \vec{g},

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, em repouso, a pressão num ponto de um fluido varia com a altura segundo
p=-\rho g z + C,
onde usamos que o eixo \hat{z} aponta para cima (oposto à gravidade), \rho é a densidade do fluido e g o módulo da aceleração gravitacional. O conteúdo principal é estática de fluidos e uso do operador gradiente \nabla em equilíbrio de forças.

Passo 2

Em equilíbrio estático de um fluido, a soma das forças sobre um volume elementar deve ser zero. A única força de volume que age é o peso do fluido, de densidade \rho, mais a força devida ao gradiente de pressão. Assim temos
\nabla p + \rho\,\vec{g} = \vec{0}
que pode ser reescrita como
\nabla p = -\,\rho\,\vec{g}.

Passo 3

Sabemos que a aceleração gravitacional é uniforme e vertical para baixo, logo
\vec{g} = -\,g\,\hat{z}.
Substituindo em \nabla p = -\,\rho\,\vec{g} obtemos
\nabla p = -\,\rho\,(-g\,\hat{z}) = \rho\,g\,\hat{z}.

Passo 4

O gradiente \nabla p tem componentes \bigl(\partial p/\partial x,\partial p/\partial y,\partial p/\partial z\bigr). Como o fluido é homogêneo e a única variação é na direção vertical, as componentes em x e y são zero, restando
\frac{\partial p}{\partial z} = \rho\,g.
Integramos em z:
p(z) = \int \rho\,g\,dz = \rho\,g\,z + C,
sendo C uma constante de integração (por exemplo a pressão na superfície de referência).

Passo 5

Para expressar no formato do enunciado, note que o eixo \hat{z} aponta para cima, de modo que, se quisermos p aumentando para baixo (profundidade positiva), escrevemos
p = -\,\rho\,g\,z + C.
Esse é o princípio de Pascal: a diferença de pressão entre dois pontos separados por \Delta z vale \Delta p = -\rho g\,\Delta z.

Resposta

p=-\rho g z + C,
onde C é a pressão na altura de referência.

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