Questão 5: O princípio de Pascal
Deduza matematicamente o princípio de Pascal que afirma que a diferença de pressão como consequência da diferença na elevação de uma coluna de fluido. Sendo representado por
onde o eixo
está na direção vertical oposita ao campo gravitacional,
e
as constantes,
é a densidade do fluido, e
é o modulo de aceleração gravitacional.
Dica: Demostre e utilize a relação
onde a aceleração gravitational é dada por
e um analogo entre a relação acima e definição de potencial para força conservativa
Notamos que, em particular, para a forca gravitacional, temos
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, em repouso, a pressão num ponto de um fluido varia com a altura segundo
onde usamos que o eixo
aponta para cima (oposto à gravidade),
é a densidade do fluido e
o módulo da aceleração gravitacional. O conteúdo principal é estática de fluidos e uso do operador gradiente
em equilíbrio de forças.
Passo 2
Em equilíbrio estático de um fluido, a soma das forças sobre um volume elementar deve ser zero. A única força de volume que age é o peso do fluido, de densidade
, mais a força devida ao gradiente de pressão. Assim temos
que pode ser reescrita como
Passo 3
Sabemos que a aceleração gravitacional é uniforme e vertical para baixo, logo
Substituindo em
obtemos
Passo 4
O gradiente
tem componentes
. Como o fluido é homogêneo e a única variação é na direção vertical, as componentes em
e
são zero, restando
Integramos em
:
sendo
uma constante de integração (por exemplo a pressão na superfície de referência).
Passo 5
Para expressar no formato do enunciado, note que o eixo
aponta para cima, de modo que, se quisermos
aumentando para baixo (profundidade positiva), escrevemos
Esse é o princípio de Pascal: a diferença de pressão entre dois pontos separados por
vale
.
Resposta
onde
é a pressão na altura de referência.