Questão 1 - Uma partícula de 1 \mu g está movendo-se com uma velocidade de aproximadamente 1 \mathrm{~mm} / \mathrm{s}, numa caixa unidimensional de 1 cm de comprimento. (a) Calcule o valor aproximado do número quântico n correspondente ao estado ocupado por esta partícula. (b) Ache \Delta x e \Delta p_{x} supondo que
\Delta x / L=0,01 e \Delta p_{x} / p_{x}=0,01. (c) Discuta o significado da quantidade \left(\Delta x \Delta p_{x}\right) / \hbar para este sistema. Sugestão: leiam o capítulo 6 e especialmente o 7 das notas de aula dando enfoque em uma partícula confinada numa “caixa” unidimensional, cálculos das variâncias e alores esperados

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m=1\times10^{-9}\,\mathrm{kg} confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento L=1\times10^{-2}\,\mathrm{m} e que se move com velocidade v=1\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}.
Conteúdo: partícula em caixa, níveis de energia quantizados e princípio da incerteza de Heisenberg.
O que vamos precisar: expressão dos níveis de energia
E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},
a relação E=p^2/(2m) e o princípio da incerteza \Delta x\,\Delta p_x\gtrsim\hbar/2.

Passo 2

Para (a), primeiro calculamos o momento clássico
p = m\,v = (1\times10^{-9}\,\mathrm{kg})\,(1\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}) =1\times10^{-12}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
Nos estados estacionários da caixa o momento vale
p_n = \frac{n\pi\hbar}{L}.
Igualando p=p_n e isolando n, temos
n = \frac{p\,L}{\pi\hbar}.
Substituindo valores ( \hbar\approx1{,}05\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}),
n \approx \frac{1\times10^{-12}\times1\times10^{-2}}{\pi\times1{,}05\times10^{-34}} \approx3\times10^{19}.

Passo 3

Para (b), usam-se as razões dadas:
\Delta x = 0{,}01\,L = 0{,}01\times1\times10^{-2}\,\mathrm{m}=1\times10^{-4}\,\mathrm{m},
\Delta p_x = 0{,}01\,p = 0{,}01\times1\times10^{-12}\,\mathrm{kg\cdot m/s} =1\times10^{-14}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Para (c), o produto das incertezas é
\Delta x\,\Delta p_x = (1\times10^{-4}\,\mathrm{m})\,(1\times10^{-14}\,\mathrm{kg\cdot m/s}) =1\times10^{-18}\,\mathrm{J\cdot s}.
Dividindo por \hbar,
\frac{\Delta x\,\Delta p_x}{\hbar} \approx \frac{1\times10^{-18}}{1{,}05\times10^{-34}} \approx1\times10^{16}.

Passo 5

Esse valor muito maior que 1 mostra que o sistema está em um regime completamente clássico: as incertezas são enormes em comparação a \hbar, muito além do limite mínimo imposto por Heisenberg. Junto com n\sim10^{19}, confirma-se que o comportamento quântico discreto é praticamente indistinguível do clássico.

Resposta

(a) n\approx3\times10^{19}.
(b) \Delta x=1\times10^{-4}\,\mathrm{m},\\ \Delta p_x=1\times10^{-14}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.
(c) \displaystyle\frac{\Delta x\,\Delta p_x}{\hbar}\approx10^{16}, indicando um regime clássico muito distante do mínimo quântico.

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