No sistema de três tubos em série abaixo figurado a queda total de pressão entre os pontos A e B é de 150.000 Pa . A diferença de cotas \left(Z_{A}-Z_{B}\right) é de 5 m. Com base nestas informações calcular a vazão de água \left(\nu=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{~s}, \quad \gamma=9810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}\right) através do sistema. Adotar tubo equivalente com \mathrm{D}=6 \mathrm{~cm} \mathrm{e} \mathrm{k}=0,12 \mathrm{~mm}. Desprezar as perdas de carga localizadas.
tubo comprimento diâmetro Rugosidade k
1 100 m 0,08 \mathrm{~m} 0,24 \mathrm{~mm}
2 150 m 0,06 \mathrm{~m} 0,12 \mathrm{~mm}
3 80 m 0,04 \mathrm{~m} 0,20 \mathrm{~mm}
A
Tubo 1
Tubo 2

Passo 1

O enunciado descreve três tubos em série pelos quais passa água, com queda de pressão total \Delta p=150\,000 Pa e diferença de cotas \Delta Z=Z_A - Z_B=5 m. Queremos a vazão Q. Vamos aplicar a equação de energia (Bernoulli + perdas por atrito) e usar a fórmula de Darcy–Weisbach para perdas em um tubo equivalente de diâmetro D_{\rm eq}=0,06 m e rugosidade k_{\rm eq}=0{,}12 mm.

Passo 2

Calculamos o “carga” total disponível para perdas por atrito como soma da carga de pressão e da carga de elevação:
\frac{\Delta p}{\gamma} = \frac{150\,000}{9\,810} \approx 15{,}29\text{ m}
h_f = \frac{\Delta p}{\gamma} + \Delta Z = 15{,}29 + 5 = 20{,}29\text{ m}

Passo 3

Somando os comprimentos dos três tubos originais obtemos o comprimento do tubo equivalente:
L_{\rm eq} = 100 + 150 + 80 = 330\text{ m}

Passo 4

Pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L_{\rm eq}}{D_{\rm eq}}\,\frac{V^2}{2g}
igualamos a 20{,}29 m e temos
20{,}29 = f\,\frac{330}{0{,}06}\,\frac{V^2}{2\cdot9{,}81}.
O fator de atrito f satisfaz a equação de Colebrook–White, que usaremos na forma de Swamee–Jain:
f = 0{,}25 \biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{k_{\rm eq}}{3,7D_{\rm eq}} +\frac{5{,}74}{Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2}, \quad Re = \frac{V\,D_{\rm eq}}{\nu}.

Passo 5

Iteramos para achar f e V.
Com chute inicial f_0=0{,}02:
V_0 = \sqrt{\frac{2 g\,h_f\,D_{\rm eq}}{f_0\,L_{\rm eq}}} = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot20{,}29\cdot0{,}06}{0{,}02\cdot330}} \approx1{,}91\text{ m/s},
Re_0 = \frac{1{,}91\cdot0{,}06}{10^{-6}} \approx1{,}14\times10^{5},
f_1 = 0{,}25 \Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{0{,}00012}{3,7\cdot0{,}06} +\tfrac{5{,}74}{(1{,}14\times10^5)^{0{,}9}} \bigr)\Bigr]^{-2} \approx0{,}0251.
Repetindo, chega-se a
f\approx0{,}0253, \quad V\approx1{,}695\text{ m/s}.

Passo 6

Calculamos a vazão:
Q = V \,\frac{\pi D_{\rm eq}^2}{4} =1{,}695\cdot\frac{\pi\cdot0{,}06^2}{4} \approx4{,}8\times10^{-3}\text{ m}^3\!/s.

Resposta

A vazão aproximada é 4,8\times10^{-3} m³/s.

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