Resolva os seguintes problemas utilizando as técnicas de representação de funções como séries de potências (manipulação de séries geométricas, derivação e integração termo a termo). Encontre o raio e o intervalo de convergência quando solicitado.
Expresse f(x)=\frac{1}{1-2 x} como a soma de uma série de potências e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=\frac{1}{1-2x}
como série de potências e determinar o intervalo de convergência. Vamos usar a fórmula da série geométrica e a condição de convergência |r|<1.

Passo 2

Sabemos que para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}.
Identificando r=2x, obtemos
\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^\infty (2x)^n = \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n.

Passo 3

Para a série convergir precisamos de \lvert 2x\rvert<1, isto é \lvert x\rvert<\tfrac12. Portanto o raio de convergência é
R = \tfrac12
e o intervalo de convergência é (-1/2,1/2). Nos extremos x=\pm\tfrac12 a série \sum 2^n(\pm\tfrac12)^n não converge.

Resposta

\frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^\infty 2^n x^n
O intervalo de convergência é (-1/2,1/2).

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