Seja ( X, Y, Z\) ) vetor aleatório tendo distribuição admitindo densidade conjunta \[f(x, y, z)= \begin{cases}\frac{6}{(1+x+y+z)^{2}} & \text { se } x>0, y>0 \text { e } z>0 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Obtenha densidade para (W=X+Y+Z].

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório (X,Y,Z)\) com densidade conjunta \[f(x,y,z)= \begin{cases} \displaystyle \frac{6}{\bigl(1+x+y+z\bigr)^{2}},& x>0,\;y>0,\;z>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases}
e pede a densidade de (W=X+Y+Z]. O conteúdo é cálculo de densidade de soma de variáveis com densidade que depende só da soma. Vamos usar o método da função de distribuição acumulada (CDF) e depois diferenciar.

Passo 2

Calcular primeiro a CDF de W:
F_W(w)=P(X+Y+Z\le w) =\int_{x+y+z\le w\,,\,x,y,z\ge0} \frac{6}{(1+x+y+z)^2}\,dx\,dy\,dz.
Note que a região \{x+y+z\le w,\;x,y,z\ge0\} é um simplex de volume \tfrac{w^3}{6}. Se chamamos t=x+y+z, então
\frac{d}{dt}\biggl(\frac{t^3}{6}\biggr) =\frac{t^2}{2},
que é a “área efetiva” do corte x+y+z=t. Logo
F_W(w) =\int_{t=0}^{w}\frac{6}{(1+t)^2}\;\frac{t^2}{2}\,dt =3\int_{0}^{w}\frac{t^2}{(1+t)^2}\,dt.

Passo 3

Para obter a densidade, diferenciamos F_W(w) em relação a w:
f_W(w)=F_W'(w) =3\;\frac{w^2}{(1+w)^2},\quad w>0.
Para w\le0, claro, temos f_W(w)=0.

Resposta

f_W(w)= \begin{cases} \displaystyle 3\,\frac{w^2}{(1+w)^2},&w>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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