1^a Questão (0,8 ponto): Considere a matriz A=(cccc3 & 1 & 2 & 0 2 & 2 & 0 & 4 0 & -1 & -1 & 3 2 & -2 & -1 & 0). Calcule det A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo do determinante da matriz A . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, começando por matrizes maiores usando a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que precisamos trabalhar:
A = 3 & 1 & 2 & 0 2 & 2 & 0 & 4 0 & -1 & -1 & 3 2 & -2 & -1 & 0
Nosso objetivo é encontrar o valor do determinante dessa matriz, det A .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 4 times 4 , podemos usar a expansão por cofatores. Isso significa que vamos expandir o determinante ao longo de uma linha ou coluna, multiplicando cada elemento por seu cofator correspondente e somando os resultados.

Passo 4

Vamos escolher a primeira linha para facilitar, já que ela tem um zero, o que simplifica os cálculos. A fórmula para a expansão por cofatores na primeira linha é:
det A = a11C11 - a12C12 + a13C13 - a14C14
Onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Aplicando os valores da primeira linha de A :
det A = 3 cdot C11 - 1 cdot C12 + 2 cdot C13 - 0 cdot C14
Note que o último termo desaparece porque está multiplicado por zero.

Passo 6

Agora, vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11 : Remove a primeira linha e primeira coluna:
2 & 0 & 4 -1 & -1 & 3 -2 & -1 & 0
  • Cofator C12 : Remove a primeira linha e segunda coluna:
2 & 0 & 4 0 & -1 & 3 2 & -1 & 0
  • Cofator C13 : Remove a primeira linha e terceira coluna:
2 & 2 & 4 0 & -1 & 3 2 & -2 & 0

Passo 7

Vamos calcular cada determinante desses menores:
  1. Para C11 :
2 & 0 & 4 -1 & -1 & 3 -2 & -1 & 0 = 2 cdot -1 & 3 -1 & 0 - 0 cdot -1 & 3 -2 & 0 + 4 cdot -1 & -1 -2 & -1
= 2 cdot ((-1)(0) - (-1)(3)) + 4 cdot ((-1)(-1) - (-2)(-1)) = 2 cdot (0 + 3) + 4 cdot (1 - 2) = 6 - 4 = 2
  1. Para C12 :
2 & 0 & 4 0 & -1 & 3 2 & -1 & 0 = 2 cdot -1 & 3 -1 & 0 - 0 cdot 0 & 3 2 & 0 + 4 cdot 0 & -1 2 & -1
= 2 cdot ((-1)(0) - (-1)(3)) + 4 cdot (0(-1) - 2(-1)) = 2 cdot (0 + 3) + 4 cdot (0 + 2) = 6 + 8 = 14
  1. Para C13 :
2 & 2 & 4 0 & -1 & 3 2 & -2 & 0 = 2 cdot -1 & 3 -2 & 0 - 2 cdot 0 & 3 2 & 0 + 4 cdot 0 & -1 2 & -2
= 2 cdot ((-1)(0) - (-2)(3)) - 2 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 3) + 4 cdot (0 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) = 2 cdot (0 + 6) - 2 cdot (0 - 6) + 4 cdot (0 + 2) = 12 + 12 + 8 = 32

Passo 8

Agora, substituímos os cofatores na expressão original do determinante:
det A = 3 cdot 2 - 1 cdot 14 + 2 cdot 32 = 6 - 14 + 64 = 56

Resposta

O determinante da matriz A é det A = 56 .

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