Questão 5 (0.5 ponto)
Calcule os seguintes limites:
(A)
.
(B)
.
Alternativas:
(a) (A)
, (B) 1
(b) (A) 1 , (B) 0
(c) (A)
(d) (A)
,
(B) 2
(e) Nenhuma das anteriores
(A)
(B)
(a) (A)
(b) (A) 1 , (B) 0
(c) (A)
(d) (A)
(B) 2
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede que calculemos dois limites quando
:
(A)
(B)
Informações importantes dadas no enunciado: as expressões explícitas dos numeradores e denominadores para cada limite. Não há valores numéricos adicionais; a única coisa a usar é o comportamento das funções
,
e
quando
é pequeno.
Passo 2
Plano e ferramentas que vamos usar (explicação didática das séries de Taylor/Maclaurin próximas de
).
Para funções bem comportadas em
podemos usar as expansões em série de Taylor centradas em
(Maclaurin). Vou escrever as versões truncadas e explicar cada termo.
- A exponencial:
Aqui
é o valor em
,
é a derivada primeira em
,
vem da segunda derivada dividida por
, etc.
- A função cosseno:
Note que
tem apenas potências pares e o termo linear (proporcional a
) é zero porque
.
- A função seno:
Comentário sobre quantos termos precisamos: o que importa é até que ordem aparecem os primeiros termos não nulos que determinam o comportamento das frações. Se ao subtrair duas séries os termos de baixa ordem se cancelarem, precisamos incluir termos de ordem mais alta para ver o primeiro termo restante. Vou escolher os termos necessários caso a caso.
Passo 3
Resolvendo (A). Primeiro expandimos
até ordem
, porque o termo linear em
é zero e a presença de
no numerador já dá um termo de ordem
.
Usando a expansão:
onde
significa termos de ordem estritamente maior que
.
Substituindo na expressão do numerador:
Os
e
cancelam, sobrando
Passo 4
Continuando (A): dividimos pelo denominador
:
Agora separamos termos:
Quando
, o termo
tende a
e
também tende a
. Portanto o comportamento limite é o valor constante que sobra.
Passo 5
Resultado intermediário para (A): a expressão acima tende para a constante
quando
. (Mantive os passos da série e da divisão para que você possa copiar esse raciocínio na prova.)
Passo 6
Agora (B). Precisamos expandir com cuidado porque há diferenças entre exponenciais e cosseno que podem cancelar termos de baixa ordem. Vou desenvolver até ordem
quando for necessário.
Usando as expansões:
somando:
Expliquei: os termos lineares
e
cancelam; os termos em
cancelam; os
somam para
; os
somam para
.
Para o cosseno usamos até
:
logo
Passo 7
Subtraindo para formar o numerador de (B):
Os termos
cancelam, os termos em
também se cancelam (porque aparecem iguais nos dois somandos), restando:
Observação: o próximo termo não-zero depois de
será de ordem
(pelo padrão de potências pares e cancelamentos), mas para nosso limite basta saber que o termo principal é
.
Passo 8
Agora o denominador de (B):
. Expandimos
usando a série de
:
Multiplicando por
:
Passo 9
Formando a razão do numerador pelo denominador (usando os resultados dos passos anteriores):
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
,
e
, então a razão tende para
.
Passo 10
Resultado intermediário para (B): o limite vale
. A razão simplificou porque tanto numerador quanto denominador têm termo principal proporcional a
com coeficiente
.
Resposta
(A)
(B)
(B)