Questão 5 (0.5 ponto)

Calcule os seguintes limites:
(A) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)+3 x-1}{2 x}.
(B) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2 \cos (x)}{x \sin (2 x)}.
Alternativas:
(a) (A) \frac{3}{2}, (B) 1
(b) (A) 1 , (B) 0
(c) (A) 0,(\mathrm{~B}) 1
(d) (A) \frac{3}{2},
(B) 2
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede que calculemos dois limites quando x \to 0:
(A) \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)+3x-1}{2x}.
(B) \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2\cos(x)}{x\sin(2x)}.
Informações importantes dadas no enunciado: as expressões explícitas dos numeradores e denominadores para cada limite. Não há valores numéricos adicionais; a única coisa a usar é o comportamento das funções e^{x}, \cos x e \sin x quando x é pequeno.

Passo 2

Plano e ferramentas que vamos usar (explicação didática das séries de Taylor/Maclaurin próximas de 0).
Para funções bem comportadas em x=0 podemos usar as expansões em série de Taylor centradas em 0 (Maclaurin). Vou escrever as versões truncadas e explicar cada termo.
  • A exponencial:
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots
Aqui 1 é o valor em 0, x é a derivada primeira em 0, x^{2}/2! vem da segunda derivada dividida por 2!, etc.
  • A função cosseno:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots
Note que \cos x tem apenas potências pares e o termo linear (proporcional a x) é zero porque \cos'(0)=0.
  • A função seno:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots
\sin x tem termo linear x e depois potências ímpares.
Comentário sobre quantos termos precisamos: o que importa é até que ordem aparecem os primeiros termos não nulos que determinam o comportamento das frações. Se ao subtrair duas séries os termos de baixa ordem se cancelarem, precisamos incluir termos de ordem mais alta para ver o primeiro termo restante. Vou escolher os termos necessários caso a caso.

Passo 3

Resolvendo (A). Primeiro expandimos \cos x até ordem x^{2}, porque o termo linear em \cos x é zero e a presença de 3x no numerador já dá um termo de ordem x.
Usando a expansão:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) \quad\text{quando }x\to 0,
onde o(x^{2}) significa termos de ordem estritamente maior que x^{2}.
Substituindo na expressão do numerador:
\cos(x)+3x-1 = \left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\right) + 3x - 1.
Os 1 e -1 cancelam, sobrando
\cos(x)+3x-1 = 3x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).

Passo 4

Continuando (A): dividimos pelo denominador 2x:
\frac{\cos(x)+3x-1}{2x} = \frac{3x - \dfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{2x}.
Agora separamos termos:
\frac{3x}{2x} - \frac{\dfrac{x^{2}}{2}}{2x} + \frac{o(x^{2})}{2x} = \frac{3}{2} - \frac{x}{4} + o(1).
Quando x\to 0, o termo -\dfrac{x}{4} tende a 0 e o(1) também tende a 0. Portanto o comportamento limite é o valor constante que sobra.

Passo 5

Resultado intermediário para (A): a expressão acima tende para a constante \dfrac{3}{2} quando x\to 0. (Mantive os passos da série e da divisão para que você possa copiar esse raciocínio na prova.)

Passo 6

Agora (B). Precisamos expandir com cuidado porque há diferenças entre exponenciais e cosseno que podem cancelar termos de baixa ordem. Vou desenvolver até ordem x^{4} quando for necessário.
Usando as expansões:
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}),
e^{-x} = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}),
somando:
e^{x} + e^{-x} = 2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4}).
Expliquei: os termos lineares x e -x cancelam; os termos em x^{3} cancelam; os x^{2} somam para x^{2}; os x^{4} somam para \dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{12}.
Para o cosseno usamos até x^{4}:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4}),
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2\cos x = 2 - x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4}).

Passo 7

Subtraindo para formar o numerador de (B):
e^{x}+e^{-x}-2\cos x = \bigg(2 + x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4})\bigg) - \bigg(2 - x^{2} + \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4})\bigg).
Os termos 2 cancelam, os termos em x^{4}/12 também se cancelam (porque aparecem iguais nos dois somandos), restando:
e^{x}+e^{-x}-2\cos x = 2x^{2} + o(x^{4}).
Observação: o próximo termo não-zero depois de 2x^{2} será de ordem x^{6} (pelo padrão de potências pares e cancelamentos), mas para nosso limite basta saber que o termo principal é 2x^{2}.

Passo 8

Agora o denominador de (B): x\sin(2x). Expandimos \sin(2x) usando a série de \sin:
\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^{3}}{6} + o(x^{3}) = 2x - \frac{8x^{3}}{6} + o(x^{3}) = 2x - \frac{4}{3}x^{3} + o(x^{3}).
Multiplicando por x:
x\sin(2x) = x\left(2x - \frac{4}{3}x^{3} + o(x^{3})\right) = 2x^{2} - \frac{4}{3}x^{4} + o(x^{4}).

Passo 9

Formando a razão do numerador pelo denominador (usando os resultados dos passos anteriores):
\frac{e^{x}+e^{-x}-2\cos x}{x\sin(2x)} = \frac{2x^{2} + o(x^{4})}{2x^{2} - \dfrac{4}{3}x^{4} + o(x^{4})}.
Dividindo numerador e denominador por 2x^{2}:
= \frac{1 + o(x^{2})}{1 - \dfrac{2}{3}x^{2} + o(x^{2})}.
Quando x\to 0, o(x^{2})\to 0 e -\dfrac{2}{3}x^{2}\to 0, então a razão tende para 1.

Passo 10

Resultado intermediário para (B): o limite vale 1. A razão simplificou porque tanto numerador quanto denominador têm termo principal proporcional a x^{2} com coeficiente 2.

Resposta

(A) \dfrac{3}{2}
(B) 1

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