Questão 6 (0.5 ponto)
A posição de um móvel em função do tempo é dada por
, onde
está em metros e
está em segundos. a) Determinar os tempos onde a velocidade instantânea do móvel é igual à velocidade média deste móvel no intervalo
. b) Determinar o tempo onde a velocidade instantânea do móvel é máxima e calcular essa velocidade máxima.
Alternativas:
(a) a)
, b)
(b) a)
(c) a)
e
, b)
(d) a)
, b)
(e) Nenhuma das anteriores
Alternativas:
(a) a)
(b) a)
(c) a)
(d) a)
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a posição do móvel como função do tempo e pede duas coisas:
- (a) Encontrar os tempos em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média do móvel no intervalo
. - (b) Determinar o instante em que a velocidade instantânea é máxima e calcular esse valor máximo.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição é
, em metros. - O tempo varia em
, em segundos. - Precisamos usar a definição de velocidade instantânea (derivada de
) e a definição de velocidade média (variação de posição dividida pelo intervalo de tempo).
Passo 2
O que é velocidade instantânea e como calculamos:
- Velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo: matematicamente é a derivada de
em relação a . Escrevemos isso como . - Para calcular derivadas de funções polinomiais usamos a regra do poder: se
, então . É isso que vamos aplicar aqui, termo a termo.
Passo 3
Calcular a velocidade instantânea
usando a regra do poder:
- Derivada de
é (porque e ). - Derivada de
é (porque e ). - Derivada de
é (constante).
Portanto,
Podemos fatorar se quiser:
. Isso já me dá uma visão rápida:
é uma parábola que começa em
quando
, sobe, e volta a
em
.
Passo 4
Calcular a velocidade média no intervalo
:
- Velocidade média é variação de posição sobre variação de tempo, ou seja
- Primeiro calcule
:
- E
. - Então a variação de posição é
. - Logo
Passo 5
Resolver a parte (a): encontrar
tal que
.
- Igualamos a velocidade instantânea à velocidade média:
- Colocando em forma de equação quadrática:
Multiplicando por
para ficar mais usual:
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula da raiz de uma quadrática). Para
, as raízes são
. Aqui
,
(notei sinal negativo ao comparar, mas estamos usando já a forma
então
é incorreto de observar; para evitar confusão, melhor usar
,
corresponderia a
. Vou aplicar direto com
,
,
.)
- Calculamos o discriminante:
- A raiz quadrada é
. - As raízes são
Passo 6
Verificar se as soluções estão dentro do intervalo
:
- Calcule aproximado para sentir as posições:
, então . - Assim
e . Ambos estão no intervalo . - Checagem rápida nos extremos:
e , que não são iguais a , então as únicas soluções no intervalo são as encontradas.
Passo 7
Resolver a parte (b): achar o tempo em que a velocidade instantânea é máxima.
- Para maximizar
— que já vimos ser uma parábola — podemos derivar para obter a aceleração e buscar pontos críticos onde . Isso corresponde a encontrar o vértice da parábola de . - Calculamos a aceleração:
- Igualando a zero para pontos críticos:
- Como a segunda derivada de
é (constante negativa), isso indica que o ponto crítico em é um máximo (segunda derivada negativa => máximo local e, no caso da parábola, máximo global no intervalo).
Passo 8
Calcular a velocidade máxima
:
Portanto a velocidade instantânea atinge o máximo de
em
.
Resposta
a)
b)
b)