Questão 6 (0.5 ponto)

A posição de um móvel em função do tempo é dada por x(t)=6 t^{2}-t^{3}+4, onde x(t) está em metros e t \in[0,4] está em segundos. a) Determinar os tempos onde a velocidade instantânea do móvel é igual à velocidade média deste móvel no intervalo [0,4]. b) Determinar o tempo onde a velocidade instantânea do móvel é máxima e calcular essa velocidade máxima.
Alternativas:
(a) a) t=2 \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}, b) t=2, v_{\text {max }}=12
(b) a) t=2, \mathrm{~b}) t=2, v_{\text {max }}=8
(c) a) t=0 e t=4, b) t=2, v_{\text {max }}=12
(d) a) t=2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, b) t=2, v_{\text {max }}=12
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a posição do móvel como função do tempo e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar os tempos em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média do móvel no intervalo [0,4].
  • (b) Determinar o instante em que a velocidade instantânea é máxima e calcular esse valor máximo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição é x(t)=6t^{2}-t^{3}+4, em metros.
  • O tempo varia em t\in[0,4], em segundos.
  • Precisamos usar a definição de velocidade instantânea (derivada de x) e a definição de velocidade média (variação de posição dividida pelo intervalo de tempo).

Passo 2

O que é velocidade instantânea e como calculamos:
  • Velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo: matematicamente é a derivada de x(t) em relação a t. Escrevemos isso como v(t)=x'(t).
  • Para calcular derivadas de funções polinomiais usamos a regra do poder: se f(t)=t^{n}, então f'(t)=n t^{n-1}. É isso que vamos aplicar aqui, termo a termo.

Passo 3

Calcular a velocidade instantânea v(t)=x'(t) usando a regra do poder:
  • Derivada de \,6t^{2}\, é \,12t (porque 2\cdot6=12 e t^{2-1}=t).
  • Derivada de -t^{3} é -3t^{2} (porque 3\cdot(-1)=-3 e t^{3-1}=t^{2}).
  • Derivada de +4 é 0 (constante).
    Portanto,
v(t)=12t-3t^{2}.
Podemos fatorar se quiser: v(t)=3t(4-t). Isso já me dá uma visão rápida: v(t) é uma parábola que começa em 0 quando t=0, sobe, e volta a 0 em t=4.

Passo 4

Calcular a velocidade média no intervalo [0,4]:
  • Velocidade média é variação de posição sobre variação de tempo, ou seja
\overline{v}=\frac{x(4)-x(0)}{4-0}.
  • Primeiro calcule x(4):
x(4)=6\cdot 4^{2}-4^{3}+4=6\cdot16-64+4=96-64+4=36.
  • E x(0)=6\cdot0^{2}-0^{3}+4=4.
  • Então a variação de posição é x(4)-x(0)=36-4=32.
  • Logo
\overline{v}=\frac{32}{4}=8\\ \text{m/s}.

Passo 5

Resolver a parte (a): encontrar t tal que v(t)=\overline{v}.
  • Igualamos a velocidade instantânea à velocidade média:
12t-3t^{2}=8.
  • Colocando em forma de equação quadrática:
-3t^{2}+12t-8=0.
Multiplicando por -1 para ficar mais usual:
3t^{2}-12t+8=0.
Agora aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula da raiz de uma quadrática). Para at^{2}+bt+c=0, as raízes são t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=3, b=-12 (notei sinal negativo ao comparar, mas estamos usando já a forma 3t^{2}-12t+8 então b=-12 é incorreto de observar; para evitar confusão, melhor usar a=3, b=-12 corresponderia a 3t^2 + (-12)t + 8. Vou aplicar direto com a=3, b=-12, c=8.)
  • Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-12)^{2}-4\cdot3\cdot8=144-96=48.
  • A raiz quadrada é \sqrt{48}=4\sqrt{3}.
  • As raízes são
t=\frac{12\pm 4\sqrt{3}}{6}=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}=2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Verificar se as soluções estão dentro do intervalo t\in[0,4]:
  • Calcule aproximado para sentir as posições: \sqrt{3}\approx1,732, então \frac{2\sqrt{3}}{3}\approx1,155.
  • Assim t_{1}=2-1,155\approx0,845 e t_{2}=2+1,155\approx3,155. Ambos estão no intervalo [0,4].
  • Checagem rápida nos extremos: v(0)=0 e v(4)=0, que não são iguais a \overline{v}=8, então as únicas soluções no intervalo são as encontradas.

Passo 7

Resolver a parte (b): achar o tempo em que a velocidade instantânea é máxima.
  • Para maximizar v(t) — que já vimos ser uma parábola — podemos derivar v(t) para obter a aceleração a(t)=v'(t) e buscar pontos críticos onde a(t)=0. Isso corresponde a encontrar o vértice da parábola de v(t).
  • Calculamos a aceleração:
a(t)=v'(t)=(12t-3t^{2})' = 12-6t.
  • Igualando a zero para pontos críticos:
12-6t=0 \implies t=2.
  • Como a segunda derivada de v é v''(t)=a'(t)=-6 (constante negativa), isso indica que o ponto crítico em t=2 é um máximo (segunda derivada negativa => máximo local e, no caso da parábola, máximo global no intervalo).

Passo 8

Calcular a velocidade máxima v_{\max}=v(2):
v(2)=12\cdot2-3\cdot2^{2}=24-3\cdot4=24-12=12\\ \text{m/s}.
Portanto a velocidade instantânea atinge o máximo de 12\\ \text{m/s} em t=2\\ \text{s}.

Resposta

a) t=2\pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}
b) t=2,\\ v_{\max}=12\\ \text{m/s}

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