Questão 2 (1,0 ponto) Considere a função y(x)=\cos (m x). Qual o valor de m para que y(x)=\cos (m x) seja uma solução não-nula da equação:
y^{\prime \prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 25\,y = 0
e propõe uma solução do tipo y(x)=\cos(m x). O que vamos usar é a ideia de substituir y nessa equação e exigir que o resultado seja identicamente zero, garantindo uma solução não-nula.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y(x)=\cos(m x):
y'(x) = -m\sin(m x),
y''(x) = -m^2\cos(m x).
Substituindo em y''+25\,y=0, obtemos
-m^2\cos(m x) + 25\cos(m x) = 0
ou seja
(25 - m^2)\cos(m x) = 0.

Passo 3

Para que y(x)=\cos(m x) não seja a solução trivial (identicamente zero), precisamos ter
25 - m^2 = 0
de modo que o fator \cos(m x) não anule toda a solução. Logo
m^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad m = \pm 5.

Resposta

m = \pm 5

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