Questão 3 (6,0 pontos) Resolva as EDOs a seguir, identificando e aplicando o método adequado
(4 y+2 x-5) d x+(6 y+4 x-1) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(4y + 2x - 5)\,dx + (6y + 4x - 1)\,dy = 0
Identificamos que devemos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que d\varphi = 0.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 4y + 2x - 5,\quad N(x,y) = 6y + 4x - 1.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (4y + 2x - 5)\,dx = 4xy + x^2 - 5x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 4x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 6y + 4x - 1.
Da igualdade vem
h'(y) = 6y - 1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 3y^2 - y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \varphi, obtemos a solução implícita
\varphi(x,y) = x^2 + 4xy - 5x + 3y^2 - y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 + 4xy - 5x + 3y^2 - y = C

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