Questão 3 (6,0 pontos) Resolva as EDOs a seguir, identificando e aplicando o método adequado
(2,0 pontos) \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}+x^{2}}{x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + x^2}{x\,y}
Esta é uma equação de primeira ordem homogênea porque
f(tx,ty)=\frac{(ty)^2+(tx)^2}{(tx)(ty)}=\frac{y^2+x^2}{x\,y}=f(x,y).
Para resolver usamos a substituição
y = v\,x,
onde v=v(x).

Passo 2

Como y=v\,x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + x^2}{x\,y} obtém-se
v + x\frac{dv}{dx} \;=\; \frac{(v\,x)^2 + x^2}{x\,(v\,x)} \;=\;\frac{v^2\,x^2 + x^2}{v\,x^2} \;=\;v + \frac{1}{v}.

Passo 3

Cancelando v dos dois lados sobra
x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v},
ou seja é uma equação separável
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x\,v}.

Passo 4

Separamos e integramos:
\int v\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^2}{2} = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Voltando a v = \frac{y}{x}, temos
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 = \ln\bigl|x\bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 = 2\ln\bigl|x\bigr| + C_1
e, multiplicando por x^2:
y^2 = x^2\bigl(2\ln\bigl|x\bigr| + C_1\bigr).

Resposta

y^2 = x^2\bigl(2\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

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