Questão 3. ( 0,2 ponto) Determine a equação da parábola na posição horizontal com concavidade virada para direita cujo vértice coincide com o centro da circunferência
S1: x^2+2 x+y^2-2 y-12=0
e a cuja distância entre o foco e a reta diretriz coincide com o diâmetro desta mesma circunferência.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola com eixo horizontal, concavidade para a direita, cujo vértice coincide com o centro da circunferência
S1: x^2+2x+y^2-2y-12=0
e tal que a distância entre foco e diretriz seja igual ao diâmetro dessa circunferência. Vamos precisar de completar quadrados para achar o centro e o raio de S1, usar que numa parábola horizontal a distância foco-diretriz vale 2p, e então montar a forma padrão (y-k)^2=4p(x-h).

Passo 2

Completo quadrados em x e y na equação de S1:
x^2+2x = (x+1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo em x^2+2x+y^2-2y-12=0
(x+1)^2-1 + (y-1)^2-1 -12 = 0 Longrightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 14
Logo o centro é l(h,kr)=(-1,1) e o raio é r=raiz14.

Passo 3

O diâmetro da circunferência vale 2r = 2raiz14. Numa parábola horizontal de parâmetro p, a distância entre foco e diretriz é exatamente 2p. Igualando:
2p = 2raiz14 Longrightarrow p = raiz14

Passo 4

A forma padrão de uma parábola com vértice em (h,k), eixo horizontal e concavidade à direita é
(y - k)^2 = 4p,l(x - hr)
Substituindo (h,k)=(-1,1) e p=raiz14 obtemos
(y-1)^2 = 4raiz14,(x + 1)

Resposta

(y-1)^2 = 4raiz14,(x + 1)

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