Questão 1: ( 3 times 1 ponto) Decida se as sequências abaixo são convergentes ou não. Em caso afirmativo, calcular o limite correspondente.
(-1)^n n^2n^3+2 n^2+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an com
an = (-1)^n,n^2n^3 + 2n^2 + 1
e pede para decidir convergência e, em caso afirmativo, calcular limntoinftyan. O tema aqui é limite de sequência de termos racionais envolvendo polinômios.

Passo 2

Para analisar o comportamento de
n^2n^3 + 2n^2 + 1
quando ntoinfty, dividimos numerador e denominador por n^3:
n^2n^3 + 2n^2 + 1 = n^2n^3 n^3 + 2n^2 + 1n^3 = 1/n1 + 2/n + 1/n^3

Passo 3

Observamos que, ao deixar ntoinfty,
1n ;longrightarrow; 0 e 1 + 2n + 1n^3 ;longrightarrow; 1
Portanto
n^2n^3 + 2n^2 + 1 ;longrightarrow; 0

Passo 4

A parte oscilante (-1)^n fica sempre entre -1 e 1, ou seja, é uma sequência limitada. Pelo teorema que diz que produto de uma sequência que tende a zero por outra limitada também tende a zero, concluímos que
an = (-1)^n cdot n^2n^3 + 2n^2 + 1 ;longrightarrow; 0
Logo an é convergente.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty (-1)^n,n^2n^3 + 2n^2 + 1 = 0

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