Questão 3: ( ponto) Determine se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . A série tem um expoente , que para grande, é pequeno. Sabemos que quando é pequeno, então:
Portanto, podemos aproximar o termo geral por:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com duas séries conhecidas:
, que é uma série p com . Sabemos que ela converge.
, que também é uma série p com . Ela também converge.
Como nossa série original é aproximadamente a soma dessas duas séries que convergem, podemos suspeitar que a série original também converge.
Passo 4
Para confirmar isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries e com para todo grande o suficiente, e converge, então também converge.
No nosso caso, sabemos que:
E já vimos que converge. Portanto, nossa série original também converge.
Passo 5
Além disso, para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, lembramos que uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. No nosso caso, todos os termos são positivos, então:
Como já mostramos que essa série converge, concluímos que a convergência é absoluta.
Resposta
A série sumn=1^infty e^1/nn^2 é absolutamente convergente.