Questão 3: ( 3 times 1 ponto) Determine se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty e^1 / nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty e^1/nn^2. Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência de séries. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: e^1/nn^2. A série tem um expoente e^1/n, que para n grande, 1/n é pequeno. Sabemos que e^x approx 1 + x quando x é pequeno, então:
e^1/n approx 1 + 1n
Portanto, podemos aproximar o termo geral por:
e^1/nn^2 approx 1 + 1nn^2 = 1n^2 + 1n^3

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com duas séries conhecidas:
  1. sumn=1^infty 1n^2, que é uma série p com p = 2 > 1. Sabemos que ela converge.
  2. sumn=1^infty 1n^3, que também é uma série p com p = 3 > 1. Ela também converge.
Como nossa série original é aproximadamente a soma dessas duas séries que convergem, podemos suspeitar que a série original também converge.

Passo 4

Para confirmar isso, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se temos duas séries sum an e sum bn com 0 <= an <= bn para todo n grande o suficiente, e sum bn converge, então sum an também converge.
No nosso caso, sabemos que:
e^1/nn^2 <= 1 + 1nn^2 = 1n^2 + 1n^3
E já vimos que sum 1n^2 + sum 1n^3 converge. Portanto, nossa série original também converge.

Passo 5

Além disso, para verificar se a convergência é absoluta ou condicional, lembramos que uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. No nosso caso, todos os termos são positivos, então:
sumn=1^infty | e^1/nn^2 | = sumn=1^infty e^1/nn^2
Como já mostramos que essa série converge, concluímos que a convergência é absoluta.

Resposta

A série sumn=1^infty e^1/nn^2 é absolutamente convergente.

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