Questão 4: Resolva APENAS UM dos itens a seguir
Os lados de um triângulo equilátero medem 4 cm . Constrói-se um novo triângulo unindo por segmentos de reta os pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Se este processo for repetido indefinidamente: (a) encontre uma série que represente o perímetro total de todos os triângulos assim obtidos; (b) efetue a soma da série do item (a).
Os lados de um triângulo equilátero medem 4 cm . Constrói-se um novo triângulo unindo por segmentos de reta os pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Se este processo for repetido indefinidamente: (a) encontre uma série que represente o perímetro total de todos os triângulos assim obtidos; (b) efetue a soma da série do item (a).
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo equilátero de lado 4 cm e, ao ligar os pontos médios de cada lado, formamos sucessivos triângulos com lado reduzido pela metade. No item (a) precisamos escrever a série que representa o perímetro total de todos esses triângulos.
Passo 2
Chame
o lado do
-ésimo triângulo. O primeiro triângulo tem lado
e cada novo triângulo tem o lado igual à metade do anterior, ou seja, formamos uma progressão geométrica de razão
. Logo, para
:
Passo 3
O perímetro do
-ésimo triângulo é três vezes o lado, portanto
Passo 4
A soma dos perímetros de todos os triângulos é então a série geométrica