Questão 4: Resolva APENAS UM dos itens a seguir
Os lados de um triângulo equilátero medem 4 cm . Constrói-se um novo triângulo unindo por segmentos de reta os pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Se este processo for repetido indefinidamente: (a) encontre uma série que represente o perímetro total de todos os triângulos assim obtidos; (b) efetue a soma da série do item (a).

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo equilátero de lado 4 cm e, ao ligar os pontos médios de cada lado, formamos sucessivos triângulos com lado reduzido pela metade. No item (a) precisamos escrever a série que representa o perímetro total de todos esses triângulos.

Passo 2

Chame sn o lado do n-ésimo triângulo. O primeiro triângulo tem lado
s1 = 4
e cada novo triângulo tem o lado igual à metade do anterior, ou seja, formamos uma progressão geométrica de razão tfrac12. Logo, para n>=2:
sn = 4 cdot l(tfrac12r)^,n-1

Passo 3

O perímetro do n-ésimo triângulo é três vezes o lado, portanto
Pn = 3,sn = 3 cdot 4 cdot l(tfrac12r)^,n-1 = 12 cdot l(tfrac12r)^,n-1

Passo 4

A soma dos perímetros de todos os triângulos é então a série geométrica
sumn=1^infty Pn ;=;sumn=1^infty 12 cdot l(tfrac12r)^,n-1

Resposta

sumn=1^infty 12 cdot l(tfrac12r)^,n-1

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