Questão 2: (2 pontos) Considere a sequência
x1=32, xn=3-1xn-1, n >= 2
(a) Verifique que xn é monótona limitada (portanto, converge); (b) calcule lim n infty xn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma sequência onde o primeiro termo é x1 = 32 e cada termo seguinte é definido por xn = 3 - 1xn-1 para n >= 2 . O conteúdo envolvido aqui é de sequências numéricas, especificamente analisando se a sequência é monótona e limitada para determinar sua convergência, e então calcular o limite dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência xn é crescente ou decrescente, ou seja, se ela é monótona. Para isso, vamos calcular alguns termos iniciais:
  • x1 = 32 = 1,5
  • x2 = 3 - 1x1 = 3 - 11,5 = 3 - 23 = 73 approx 2,333
  • x3 = 3 - 1x2 = 3 - 12,333 approx 3 - 0,428 = 2,572
Observamos que os termos estão aumentando: 1,5 < 2,333 < 2,572 . Isso sugere que a sequência pode ser crescente.

Passo 3

Agora, vamos provar que a sequência é realmente crescente para todo n >= 1 . Suponha que xn > xn-1 . Então:
xn+1 = 3 - 1xn
Como xn > xn-1 e ambos são positivos (já que começamos com x1 = 32 > 0 ), temos que 1xn < 1xn-1 . Portanto:
xn+1 = 3 - 1xn > 3 - 1xn-1 = xn
Isso confirma que a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência xn é limitada. Observamos que xn = 3 - 1xn-1 . Como xn-1 > 0 , então 1xn-1 > 0 , o que implica que:
xn = 3 - 1xn-1 < 3
Portanto, todos os termos da sequência são menores que 3. Além disso, já que a sequência é crescente e começa em 32 , ela está limitada inferiormente por 32 .

Passo 5

Como a sequência xn é crescente e está limitada superiormente por 3, de acordo com o Teorema da Convergência Monótona, ela converge. Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty xn .

Passo 6

Sabemos que, se a sequência converge para L , então:
L = 3 - 1L
Vamos resolver essa equação para encontrar L :
L = 3 - 1L
Multiplicando ambos os lados por L :
L^2 = 3L - 1
Rearranjando:
L^2 - 3L + 1 = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática L^2 - 3L + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
L = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
Como a sequência é crescente e x1 = 32 , que é menor que 3 + raiz52 approx 2,618 , o limite será a raiz maior:
L = 3 + raiz52

Resposta

O limite da sequência é limn to infty xn = 3 + raiz52 .

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