Questão 2: (2 pontos) Considere a sequência
(a) Verifique que
é monótona limitada (portanto, converge); (b) calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é definido por
para
. O conteúdo envolvido aqui é de sequências numéricas, especificamente analisando se a sequência é monótona e limitada para determinar sua convergência, e então calcular o limite dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência
é crescente ou decrescente, ou seja, se ela é monótona. Para isso, vamos calcular alguns termos iniciais:
Observamos que os termos estão aumentando:
. Isso sugere que a sequência pode ser crescente.
Passo 3
Agora, vamos provar que a sequência é realmente crescente para todo
. Suponha que
. Então:
Como
e ambos são positivos (já que começamos com
), temos que
. Portanto:
Isso confirma que a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência
é limitada. Observamos que
. Como
, então
, o que implica que:
Portanto, todos os termos da sequência são menores que 3. Além disso, já que a sequência é crescente e começa em
, ela está limitada inferiormente por
.
Passo 5
Como a sequência
é crescente e está limitada superiormente por 3, de acordo com o Teorema da Convergência Monótona, ela converge. Agora, vamos calcular o limite
.
Passo 6
Sabemos que, se a sequência converge para
, então:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como a sequência é crescente e
, que é menor que
, o limite será a raiz maior:
Resposta
O limite da sequência é
.